2003年考研数学二真题解析：2003考研数四真题及解析
2003考研数四真题及解析 200３年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题 一、填空题：本题共 24分，请将答案写在答题纸指定位 是三阶单位矩阵。已知 其中A的逆矩阵为B 的相关系数为0.52003年考研数学二真题解析， EXEY EYEX 二、选择题:本题共6小题，每小题 24分，下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）曲线 既有铅直又有斜渐近线。（2)设函数 充分必要条件。(B）必要但非充分条件． 既非充分也非必要条件.(3）设可微函数 2003考研数四真题及解析 数不存在.（４)设矩阵 .已知矩阵A相似于B 之和等于（ 有可能独立. 一定不独立。 （6）设随机变量X 计算二重积分其中积分区域 小？并求出最小值。2003 考研数四真题及解析 七、（本题满分９分) 是第一象限内连接点(0,1), 轴上的投影，O为坐标原点。 若梯形OCMA的 面积与曲边三角形CBM 的面积之和为 的表达式．八、（本题满分 设某商品从时刻0到时刻t 的销售量为 kt 将数量为A的该商品销售完，试求 上的平均剩余量.九、（本题满分 1３分） 设有向量组（I）: 试问：当a为何值时，向 量组（I）与（II)等价?当a 为何值时，向量组（I）与（II）不等价? 十、（本题满分 13 是矩阵A的伴随矩阵. 十一、（本题满分１3分）设随机变量X 的概率密度为 的分布函数．求随机变量 的分布函数．十二、（本题满分 13分) 对于任意二事件A ２00３年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题解析一、填空题 （1)【答案】 型未定式极限，可以考虑利用重要极2003 考研数四真题及解析 限求解．首先凑成重要极限形式： 方法２： ln[1ln(1 2ln[1ln(1 limlim 【分析】对称区间上的定积分，有【详解】 dx dxxe dx xedx 时,被积函数才不为零2003年考研数学二真题解析，则二重积分只需在积分区域与被积函数不为零的区域的公共部分商积分 即可，因此实际上只需在满足此不等式的区域内积分即可． dxdy 【详解】应先化简，从 【答案】—１【详解】这里 进行计算并注意利用乘法的结合律即可.由题设，有 2003考研数四真题及解析 EXEY XYCov 再由相关系数的定义cov( DXDY 二、选择题（1）【答案】( 【分析】按照铅直、水平、斜渐近线三种情况分别考虑：先考虑是否有水平渐近线: lim 为曲线的一条水平渐近线;若无水平渐近线应进一步考虑是否存在斜渐近线： 为曲线的一条斜渐近线;而是否存在铅直渐近线,应看函数是否存在无定义点2003年考研数学二真题解析，且 2003考研数四真题及解析 为曲线的一条垂直渐近线。
【详解】1． lim极限均不存在，故曲线不存在水平渐近线; limlim limlim lim lim limlim limlim 处可导的充分必要条件是左、右导数相等,所以故应选( 处的两个偏导数都存在，又由二元函数极值的必要条件即得 处的两个偏导数都等于零. 从而有 选项( 正确.（４）【答案】（Ｃ) 【分析】 利用相似矩阵有相同的秩计算2003年考研数学二真题解析，秩( 之和．【详解】因为矩阵A 相似于B 2003考研数四真题及解析 于是,矩阵( 相似.同理有 所以，矩阵A 相似.又因为相似矩阵有相同的秩,而 =4,故应选（C）．（5)【答案】B 【详解】本题考查独立与互斥事件之间的关系，事实上，独立与互斥事件之间没 有必然的互推关系． 不是互斥的.AB 因此(C)，(D)也不成立，故正确选项为（B). （6）【答案】C. 【分析】本题考查正态分布的性质以及二维正态分布与一维正态分布之间的关 系。只有( 服从二维正态分布。 不相关．【详解】只有当( 独立,本题仅仅已知X 服从二维正态分布，但题设并2003 考研数四真题及解析 不知道 是否独立,可排除（B）;同样要求X 服从一维正态分布，可排除（D)．故正确选项为（C）。
三【详解】为使函数 ，所以定义 上连续．四【详解】由复合函数 的求导法则,得从而 所以 五【详解】从被积函数与积分区域可以看出，应利用极坐标进行计算.作极坐标变换：设 sinsin 的一阶导数为零的点，它是关于a的函数．由 lnln ln 时的最小值，得唯一驻点 时，lnln0,1 lnln 时，lnln0,1 lnln 单调递减。因此当 2003考研数四真题及解析 为最小值,此时 为极小值，也是最小值。七【分析】梯形OCMA的面积可直接用梯形面积公式计算得到,曲边三角形CBM 的面积可用定积分计算,再由题设，梯形OCMA的面积与曲边三角形CBM 的面积 之和为 ，可得一含有变限积分的等式,两边求导数,可转化为一阶线性微分方程，然后用通解公式计算即可． 【详解】由题意得 两边关于x求导 的通解公式所以此方程为标准的一阶线性非齐次微分方程,其通解为 所以八【详解】（1） 在时刻t 的剩余量 可用总量A减去销量 2003考研数四真题及解析 时刻将数量为A的该商品销售完，得 上的平均剩余量，即函数平均值可用积分 表示(函数 九【分析】两个向量组等价也即两个向量组可以相互线性表示；而两个向量组不等价,只需其中一组有一个向量不能由另一组线性表示即可．而线性表示问题又 可转化为对应非齐次线性方程组是否有解的问题,这可通过化增广矩阵为阶梯形 来判断．一个向量 线性表示,则可结合起来对矩阵（ )同时作初等行变换化阶梯形,然后类似地进行讨论即可. 【详解】矩阵( (第一行乘以-１加到第三行，第二行乘以—１加到第三行) 均有唯一解。
所以 可由向量组（I)线性表示． 同样，行列式 可由向量2003 考研数四真题及解析 组（IＩ）线性表示。因此向量组(Ｉ）与（ＩＩ)等价。 线性表示．因此,向量组（I）与（IＩ）不等价． 【评注 1】涉及到参数讨论时,一般联想到利用行列式判断,因此，本题也可 这样分析: 因为行列式 线性表示．即向量组(I）与(IＩ)不等价。 【评注2】向量组（I)与（ＩI）等价，相当于 均为整个向量组 的一个极大线性无关组,问题转化为求向量组 的极大线性无关组,这可通过初等行变换化阶梯形进行讨论.十【分析】 题设已知特征向量，应想到利用定义： 进行化简。【详解】 矩阵 属于特征值的特征向量为 ，由于矩阵A 可逆，故 可逆.于是 2003考研数四真题及解析 根据(１)式知，特征向量所对应的特征值 所以,当 ,再按特征值、特征向量的定义进行分析,则计算过程将非常复杂．一般来说，见到 进行化简。十一【分析】先求出分布函数 ，然后按定义求Y 的分布函数即可．注意应先确定 分段讨论．【详解】易见,当 的分布函数.显然，当 的分布函数为十二【分析】A ,由此可以直接证明问题（1）； 对于问题（2）,应先构造随机变量，不难看出与事件A 联系的应是随机变量 随机变量 转化为用随机变量表示。显然, 若有 2003 考研数四真题及解析 即可，这只需定义【详解】 由协方差的定义因此，事件A 的相关系数。于是由二随机变量相关系数的基本性质