速成抢救考研线代·线性方程组·历年真题合集·常用方法结论(5...

一、大纲局部

线性方程组是线性代数的前三章行列式、矩阵、向量组的综合之地，∵在线性代数的发展历史上，长期以来的主旋律是从解线性方程组中来到线性方程组中去。

克莱姆法则直接考的题并不多，但它的理论意义是深刻的。事实上它是几何-线性代数的山海关，如果能把握克莱姆法则的几何意义，则可长驱直入。新一代线性代数学习方案·线性变换观点下的线性代数（1）

真题合集+常用结论方法

一、解的定性判定（有无，有的话是不是无穷多解）

1992、二（5）

结论:秩的分配原理（这个名是我自己起的，解释如下）

在n阶齐次线性方程组中，系数矩阵的秩+基础解析的秩=n阶向量空间的秩

也就是r（a）|+r（x）=n，谓之秩的分配原理。其几何意义见于新一代线性代数学习方案·线性变换观点下的线性代数（1）:

解题步骤:

1）由解向量的向量长度知方程组为3阶，而这两个向量线性

无关，所以基础解析的秩>=2,则系数矩阵的秩<=1。

2）选项中仅a入选，因为bcd显然秩都大于1

1993、一（5）

分析:由齐次线性方程组秩的分配原理易得，解空间的秩=1。而“各行元素之和=某个数”是个常见的方程条件:即系数权重均为1。所以易得一个解向量为(1,1,……1）^t,则通解为同族所有解向量即k(1,1,……1）^t

二、求解线性方程组

1989、七

分析:题型为单一参数的具体线性方程组求解。参数只有一个省事，否则多个的话得用控制变量法分类讨论就来了麻烦了。有解这个条件等价于系数矩阵等价于增广矩阵。

而至于求出解，则要求更高，它考察的是线性方程组的一般求法。

即该题路往往是:解的定性判定+解的定量计算

无解的意思就是线性方程组超定，一般不考，都考适定和欠定的。

基本方法:增广矩阵变换为行阶梯形（因为行阶梯形能直观凸显系数矩阵与增广阵的秩，注意不必是行最简形，那样容易额外多做无用功）

基本命题:行阶梯形矩阵

操作起来就是无脑暴力行倍加，逐行造开头的零。

然后写出行阶梯矩阵不仅能凸显系数矩阵及其增广阵的秩的关系，还能写出等价的线性方程组，这是因为

常用结论:

基本方法:据行阶梯形矩阵写出方程组通解

令自由变元们作任意值参数，解出主元即把主元写成自由变元的参数方程。

综上，解线性方程组这个题路有:解空间有多大+解空间方向如何

具体操作是:化增广矩阵行阶梯形以判定解+依据行阶梯形矩阵写出通解

是不是必懂必会。

三、解的结构与性质

1990、二（5）

分析:考察线性方程组解的结构与性质

结论:（简记，应该能看得懂）

1、结构定理:非通=齐通+非特

性质1、齐特、齐特的线性组合仍是齐特

性质2、非特-非特=齐特（几何解释见于速成抢救:考研高数·常微分方程(3)&常用命题结论(4)常微分方程解的结构和性质，这个几何解释是相通的）

性质3、非特+齐特=非特（性质2移项）

性质4、非特、非特的归一化线性组合才是非特，否则啥也不是（这个有些坑别弄岔了啊）

解答:非特-非特=齐特，所以a糊锅了，没有非特凉了,c也是；b非特归一化还是非特；d是没有齐通，也错了。所有易得选b。

是不是必懂必会

四、解的几何意义

2002、二（4）

分析:线性方程组几何意义。一看即选b，不是吹，这事太自然了，秩就是维度，秩=1就对应一维的直线。如果对几何意义感兴趣的，可以看3b1b的视频，生动形象。不过作者能给你线性代数中所有代数概念、现象、定理的几何解释，我写了一部分于本专栏文集的新一代线性代数教学方案中新一代线性代数学习方案·线性变换观点下的线性代数（1）

五、公共解与同解

这个事猛一听似乎有些鬼，似乎印象中这样的题没咋见。

联立方程组的解叫公共解。在解空间上就是取交集，不虚。

同解也不困难，考的结论基本就一点，系数矩阵行变换解不变。

2003、二（5）

接下图:

分析:题设为齐次线性方程组。④是经典错误，因为矩阵等价不代表向量组等价，即系数矩阵等秩不能保证同解，得系数向量组等价才行——同解是解向量组等价，要求解向量能互相线性表出，这是比维度相等更高的要求，比如天花板和墙面虽然都是2维，但这俩空间上的向量就不能互相线性表出，互相线性表出的意思是同一子空间。

所以cd排除。同理②也是经典错误，系数矩阵的秩更大的等价条件是解空间维度更小，但并不能保证解空间的包含关系，比如旗杆和地面，虽然旗杆的维度是1维比地面的2维维度低，但旗杆上的向量不能被地面线性表出，也就是解向量组不等价，即不同解。

结论:

以上结论是自己整理的，希望别弄岔了

好了，其他的题型，我觉得非主流了，当然如果又发现了可能还续更，不发现就到此为止了