考研数学有理函数积分题,考生都说难,掌握这5种技巧快速解题

从理论上讲,一切有理函数的不定积分都可用分解部分分式的方法求出，但由于此法计算太繁，工作量大，常采用其他一些方法。这些方法要比部分分式法简便，下面介绍四种此类方法。

一、凑部分分式法

凑的方法与技巧，常用的有下述几种。

( I )被积函数的分母(下简称分母)为不同因式的乘积，试将分子或其一因式写成这些不同因式的组合，再分项积分。

(Ⅱ)分母两因子中x的次数不同，可试将分子凑成这样两项的组合：一项是x次数较高的因式，另一项以x次数较低的因式为因子。

(Ⅲ)

分母仅含一个因式或仅是一个因式的方幂，为将其分子凑成该因式的组合，常在分子中加减相同项(通常为常数1)，进行恒等变形，再分项降幂积分。

(Ⅳ )被积函数的分母为(或可化为)两个次数不同的x的因式x^k与x^l+a，其中k，l为正整数，且k<l，其积分

有多种求法。常在分子、分母上同乘因子x^(l-k)，将乘积项拆成两项之差。

二、分部积分法

常用去分母的分部积分法求之。

三、凑微分法

对形如

的有理函数的不定积分，常用凑微分法求之。为此先将被积式凑成两项的代数和，其

中一项的分子为其分母的微分。

四、变量代换法

注意：凡用第二类换元法(三角代换法)求积分时，在代回x的函数时，均可采用上述辅助直角三角形法。

五、部分分式法

有理分式的积分，如不能用上述方法简化计算，当然可用部分分式法将被积函数拆为部分分式，不过计算过程较烦，务必细心，以免出错。确定部分分式中的待定系数，除可用将x的特定值代人的方法外，还可采用在等式两边同乘适当因子后令x趋于某些值而逐个求出的方法，当然也可比较等式两端同次幂系数，用解方程组的方法求出。

注意：由本节诸例结果易看出，有理函数的原函数总是初等函数，且积分结果只能含有理函数，对数函数或反正切函数。如出现其他类型函数，则计算有误。

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