考研数学 这个方法很好用!证明递推数列收敛的压缩映像原理

大师好，我是老梁考研数学！

递推数列的收敛性证实及极限计较是考研数学的一个首要考点，同时也是难点。在积年考研数学真题傍边，递推数列收敛性证实经常作尴尬题呈现，并且得分率很是低。

前面老梁已经由过程两篇文章对单调有界数列极限存在证实和极限计较做了先容：递推数列的有界性和单调性的证实法子和思绪（文末往期回首有链接）。今天老梁继续先容递推数理收敛性证实的第二种法子：紧缩映像道理法子。

为防止繁琐的证实，咱们只先容操纵紧缩映像道理的一个简略且轻易利用的命题，用来证实递推数列的收敛性和极限的计较，该命题的证实进程，就是求递推数列极限的进程。

递推数列收敛的紧缩映像道理

【评注1】

从证实进程中，包管数列收敛的前提就是：

它阐明数列的每项与A的间隔跟着n的增长遭到了紧缩，使数列愈来愈挨近A，从而收敛于A。

操纵紧缩道理求递推数列极限的步调

下面经由过程一个例子，来阐明紧缩映像道理证实递推数列收敛的进程。

紧缩映像道理法子两个前提都知足，是以雷同于该道理的证实进程，由拉格朗日中值定理，

【评注2】

（1）本题也可经由过程根号有理化求得，进程以下：

如下步调基底细同；

（2）分歧于单调有界道理的进程，操纵紧缩映像道理证实数列收敛，不必要证实数列的单调性和有界性，一般环境下，只必要证实数列的递推函数知足以下前提：

而在考研数学中，这两个前提都轻易知足；

（3）还要阐明一点，导数前提其实不是

这个前提和紧缩映像道理请求的前提是纷歧样的，同窗们可以或许大白它们之间的不同吗？若有疑难，请在评论区留言。

总结

递推数列的收敛性证实有两种法子：单调有界道理和紧缩映像道理。考研数学重要考核前者，但有时证实很繁琐。尔后者前提简略，法子简略易把握，有时会起到很好的结果，作为想要高分的同窗，两种法子都要把握！

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