2010年考研数学一真题及答案

2010年考研数学一真题一、选择题（1~8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。）【考点】C。【解析】【方法一】这是一个“”型极限lim【方法二】原式,求极限由于lim()()【方法四】lim综上所述，本题正确答案是C。【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量的性质及无穷小量的比较，极限的四则运算，两个重要极限(2)设函数由方程【答案】B。【解析】因为综上所述2010年考研数学一真题及答案，本题正确答案是(B)。【考点】高等数学—多元函数微分学—多元函数的偏导数和全微的收敛性(A)仅与的取值有关(B)仅与的取值有关【答案】D。【解析】本题主要考察反常积分的敛散性，题中的被积函数分别在0和1时无界中，被积函数只在0时无界。由于也收敛。在反常积(C)与的取值都有关(D)与的取值都无关(洛必达法则)且反常积收敛综上所述，无综上所述，本题正确答案是D。【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分00(1+)(1+)111【答案】D。【解析】因为lim综上所述，本题正确答案是C。【考点】高等数学—多元函数积分学—二重积分与三重积分的概念、性质、计算和应用(5)设为矩阵，为矩阵，为阶单位矩阵，若0022()=,()=()=,()=【答案】A。

【解析】因为=为阶单位矩阵，知()=又因可得秩()=,秩()=综上所述2010年考研数学一真题及答案，本题正确答案是A。【考点】线性代数—矩阵—矩阵的秩(6)设为4阶实对称矩阵，且2010年考研数学一真题及答案，若的秩为3，则相似于【答案】D。【解析】再由是实对称矩阵必有~Λ，而Λ是的特征值，那么由,可知D正确综上所述，本题正确答案是D。【考点】线性代数—特征值与特征向量—实对称矩阵的特征值、特征向量及其相似对角矩阵(7)设随机变量的分布函数【答案】C。【解析】11综上所述，本题正确答案是C。【考点】概率论与数理统计—随机变量及其分布—随机变量分布函数的概念及其性质(8)设为标准正太分布的概率密度，为上均匀分布得概率密度，若为概率密度，则,应满足22【答案】A。【解析】根据密度函数的性质，-1340，其他,可得2+3=4综上所述，本题正确答案是A。【考点】概率论与数理统计—随机变量及其分布—连续型随机变量的概率密度，常见随机变量的分布二、填空题（9~14小题，每小题4分，共24分。）【答案】0。【解析】【方法一】=10+0-=0，【方法二】由参数方程求导公式知，代入上式可得【方法三】综上所述，本题正确答案是0。【考点】高等数学—一元函数微分学—基本初等函数的导数，复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法(10)【答案】-4。

【解析】综上所述，本题正确答案是‒4。【考点】高等数学—一元函数积分学—基本积分公式2010年考研数学一真题及答案，不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法=1‒||,‒1,1],起点是(‒1,0),终点是(1,0)【答案】0。【解析】如图所,其中12【考点】高等数学—多元函数积分学—两类曲线积分的概念、性质及计算(12)设，则的形心坐标。【答案】3。【解析】00211综上所述，本题正确答案是3。【考点】高等数学—多元函数积分学—二重积分与三重积分的概念、性质、计算和应用(13)123生成的向量空间的维数为2，则=。【答案】6。【解析】123生成的向量空间的维数为，所以可知，112211‒1010211201300‒6000所以可综上所述，本题正确答案是6。【考点】线性代数—向量—向量组的秩，向量组的秩与矩阵的秩之间的关系，向量空间及其相关概念(14)设随机变量的概率分布为【答案】2。【解析】泊松分布的概率分布为{=}=,=0,1,2,所以==1,而=+()=1+1=2综上所述，本题正确答案是2。【考点】概率论与数理统计—随机变量及其分布—常见随机变量的分布；概率论与数理统计—随机变量的数字特征—随机变量的数学期望(均值)、方差、标准差及其性质三、解答题：15~23小题，共94分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(15)求微分方程‒3+2=2的通解【解析】由齐次微分方程‒3+2=0的特征方程-3+2=01=1，2=2所以，齐次微分方程‒3+2=0的通解为()´´=(+4++2+2)代入原方【考点】高等数学—常微分方程—二阶常系数齐次线性微分方程，简单的二阶常系数非齐次线性微分方程(16)求函数22的单调区间与极值【解析】函数()的定义域为(‒,+)，-1(‒1,0)极小极大极小由上可知，()的单调增区间为(‒1,0)和(1,+)；()的单调减区间(‒,‒1)(0,1)极小值为【考点】高等数学—一元函数微分学—基本初等函数的导数，函数单调性的判别函数的极值高等数学—一元函数积分学—基本积分公式，积分上限的函数及其导数(17)的大小，说明理由；(II)=||[⁡(1+)](=1,2,)0lim,求极限。【解析】(I)当时，因,所以(=1,2,)(II)【方法一】由上可知，11||[⁡(1+)]||00所以lim||0011||[⁡(1+)]2||00111||=‒=‒|+=10002=0lim又，由夹逼定理【方法三】已知11||[⁡(1+)]||00因为lim,且在上连续，则在(0,1]上有界，从而存在>0使得0【考点】高等数学—函数、极限、连续—极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则高等数学—一元函数积分学—定积分的概念和基本性质(18)求幂级数的收敛域及和函数。【解析】lim即‒1