2011数一考研真题及解析：考研数学历年真题及解析（1987-2011）.pdf 412页

考研精华资料系列考研数学历年真题及解析1987——2011史上最强，精编细讲考研英语作文万能模板 考研精华资料系列2010 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题(1-8 小题,每小题4 分,共32 分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所 选项前的字母填在题后的括号内.)x⎡x 2⎤(1)极限lim ⎢⎥ =x →∞⎣(x −a)(x +b)⎦(A)1(B) ea −bb−a(C) e(D) ey z′∂z∂z(2)设函数zz (x , y ) 由方程F ( , ) 0 确定,其中F 为可微函数,且F2≠0, 则x+y=x x∂x∂y(A) x(B) z(C) −x(D) −z21 m ln (1−x )(3)设m, n 为正整数,则反常积分∫0ndx 的收敛性xmn(A)仅与取值有关(B)仅与 取值有关(C)与m, n 取值都有关(D)与m, n 取值都无关n nn(4) lim ∑∑2 2 =x →∞ i 1 j 1 (n +i)(n + j )1 x11 x1(A) dx2 dy(B) dxdy∫ ∫∫ ∫0 0 (1+x )(1+y )0 0 (1+x )(1+y )1 111 11(C) dxdy(D) dx2 dy∫ ∫∫ ∫0 0 (1+x )(1+y )0 0 (1+x )(1+y )(5)设A 为m ×n 型矩阵,B 为n ×m 型矩阵,若ABE, 则(A)秩 (A) m, 秩(B)m(B)秩(A) m, 秩(B)n(C)秩(A) n, 秩(B) m(D)秩 (A) n, 秩(B) n(6)设A 为 4 阶对称矩阵,且A2 +A0, 若A 的秩为 3,则A 相似于考研英语作文万能模板 考研精华资料系列⎛1⎞⎛1⎞⎜⎟⎜⎟(A) ⎜ 1⎟(B) ⎜ 1⎟⎜1⎟⎜−1⎟⎜⎟⎜⎟⎝0 ⎠⎝0 ⎠⎛1⎞⎛−1⎞⎜⎟⎜⎟(C) ⎜ −1⎟(D) ⎜−1⎟⎜−1⎟⎜−1⎟⎜⎟⎜⎟⎝0 ⎠⎝0 ⎠0x 1 e2(A)0(B)11−1−1(C) −e(D) 1−e2(8)设f 1(x ) 为标准正态分布的概率密度,f 2 (x) 为[−1,3] 上均匀分布的概率密度,af (x) x ≤01f (x )(a >0,b >0)bf (x) x >02 为概率密度,则a,b 应满足(A) 2a +3b4(B) 3a +2b4(C) a +b 1(D) a +b2二、填空题(9-14 小题,每小题4 分,共24 分,请将答案写在答题纸指定位置上.)2−tt2d y(9)设xe , y ∫0 ln(1+u )du, 求 dx2=.t 02π(10) ∫0 x cos xdy =.(11) 已知曲线L 的方程为y1=−x {x ∈−[ 1,1]},起点是 (−1,0), 终点是(1,0),2 则曲线积分∫L xydx +x dy =.(12)设Ω {(x ,y ,z ) |x 2 +y 2 ≤z ≤1},则Ω的形心的竖坐标z =.TTT(13)设α (1, 2, =−1,0), α (1,1,0, 2) , α (2,1,1,α), 若由α ,α ,α 形成的向量空间的维数是 2,1231 2 3 则α=.考研英语作文万能模板 考研精华资料系列C2(14)设随机变量X 概率分布为P {Xk }(k 0,1, 2,L), 则EX =.k !三、解答题(15－23 小题,共94 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤.)(15)(本题满分 10 分)求微分方程 ′′ ′xy −3y +2y2x e 的通解.(16)(本题满分 10 分)x2求函数f (x ) ∫1 (x 2 =−t )e−t dt 的单调区间与极值.(17)(本题满分 10 分)11nn(1) 比较∫0 ln t [ln(1+t)] dt 与∫0 t ln t dt(n 1,2,L) 的大小,说明理由.1n(2)记unln t [ln(1=+t)] dt(n 1,2, L), 求极限lim u .∫0x →∞ n(18)(本题满分 10 分)∞ (−1)n−1 2n求幂级数∑x 的收敛域及和函数.2n −1n 1(19)(本题满分 10 分)设P 为椭球面S : x2 +y2 +z2 −yz1上的动点,若 S 在点 P 的切平面与 xoy 面垂直,求 P 点的轨迹(x + 3) y −2z C, 并计算曲面积分I∫∫ 22dS , 其中Σ是椭球面S 位于曲线C 上方的部分.4 + + −4Σy zyz(20)(本题满分 11 分)⎛λ 11 ⎞a⎛ ⎞⎜⎟ ⎜ ⎟设0 λ 1 0 ,1 已知线性方程组Axb 存在两个不同的解.A=−b⎜⎟ ⎜ ⎟,⎜λ⎟ ⎜ ⎟111⎝⎠ ⎝ ⎠(1)求λ, a.(2)求方程组Axb 的通解.(21)(本题满分 11 分)设二次型 f (x,x ,x ) x T Ax 在正交变换 xQy 下的标准形为 y 2 +y 2 , 且 Q 的第三列为1 2 31222 T ( ,0, ) . 22(1)求A.(2)证明A +E 为正定矩阵,其中E 为 3 阶单位矩阵.(22)(本题满分 11 分)考研英语作文万能模板 考研精华资料系列2 2设二维随机变量 (X +Y) 的概率密度为f (x ,y )A e−2x +2xy −y , −∞ − 1，由比较判别法知无论正mnx n 整数m, n 取何值,反常积分I 是收敛的.1221 [ln 1− x ]m[ln 1− x ]m对I 22011数一考研真题及解析，lim(1− x )2()lim()−1−1x →1x →1−x n(1− x ) 222m −1− 12 −1− [ln 1− x ] (1− x )()4[ln 1− x ]mm()limlim−3−1x →11−x →1−22− (1− x )m (1− x )2222m −2− 12 −2−4( −1)[ln 1− x ] (1− x)()8(2 − m)[ln 1− x ]mm()limlim0 .−3−1x →11− 2x →12− 2−m(1− x)m (1− x)2 由比较判别法知无论正整数m, n 取何值反常积分I 2 是收敛的，因此应选(D). 【评注】根据当年考试大纲的要求，此题属超纲范围.n nn (4) lim ∑∑2 2n→∞ i 1 j 1 (n + i ) (n + j )1x11 x1 (A) ∫0 dx∫02 dy .(B) ∫0 dx∫0dy .(1+ x ) (1+ y )(1+ x )(1+ y )1 111 11 (C) ∫0 dx∫0dy .(D) ∫0 dx∫02 dy .【】(1+ x )(1+ y )(1+ x ) (1+ y ) 【答案】 应选(D). 【分析】用二重积分（或定积分）的定义 【详解】 因为n nn nnnlim ∑ ∑2 2lim ∑ ∑n→∞ i 1 j 1 (n + i)(n + j ) n→∞ i 1 j 1 n(1+ i ) n 2 [1+ ( j ) 2 ]nnn n11lim ∑ ∑⋅ 2n→∞ i 1 j 1 (1+ i ) [1+ (j ) 2 ] nnn111∫0 dx∫02 dy2011数一考研真题及解析，(1+ x)(1+ y ) 所以应选(D) 【评注】1. 也可用定积分定义计算n nnn1 1 n11lim ∑ ∑2 2lim ∑ (⋅ )∑ (⋅ )n→∞ i 1 j 1 (n + i)(n + j ) n→∞ i 1 1+ i n j 1 1+ ( j ) 2 nnnn1 1n11lim ∑ (⋅ ) lim ∑(⋅ )n→∞ i 1 1+ i n n→∞ j 1 1+ ( j ) 2 nnn1 11 11 11∫0 1+ x dx∫0 1+ y 2 dy ∫0 dx∫0 (1+ x)(1+ y 2 ) dy .3 2. 以往多次考过定积分定义求极限，本题是首次考查二重积分定义求极限，题目较新颖. (5) 设A 为 m×n矩阵, B 为 n×m 矩阵, A 为 m阶单位矩阵, 若AB =E ,则(A) 秩 r (A)= m , 秩 r (B)= m . (B) 秩 r (A)= m , 秩 r (B)= n .(C) 秩 r (A)= n , 秩 r (B)= m . (D) 秩 r (A)= n , 秩 r (B) = n . 【 】 【答案】应选(A) . 【详解】由AB =E有r (AB)= r (E)= m .由 r (AB) ≤ min { r (A), r (B) }, 知 r (A) ≥ m , r (B) ≥ m , 又A 为 m×n矩阵, B 为 n×m 矩阵, 因此r (A) ≤ m ,r (B) ≤ m . 故 秩 r (A)= m , 秩 r (B)= m , 应选(A) . 【评注】矩阵秩的重要结论：若干个矩阵相乘，其秩不会超过每一个矩阵的秩. 几乎原题见《经典讲义》线性代数部分的例题2.33，3.12,以及强化班第三讲中的例题4. (6) 设A 为 4 阶实对称矩阵, 且A2+A=O ,若A 的秩为 3,则A 相似于⎡ 1⎤⎡ 1⎤⎢ 1⎥⎢ 1⎥(A) ⎢⎥.(B) ⎢⎥ .⎢1 ⎥⎢− 1 ⎥⎢⎥⎢⎥⎣0⎦⎣0⎦⎡ 1⎤⎡− 1⎤⎢ − 1⎥⎢⎥(C) ⎢⎥.(D) ⎢− 1⎥.【】⎢− 1 ⎥⎢− 1 ⎥⎢⎥⎢⎥⎣0⎦⎣0⎦ 【答案】应选 (D) . 【详解】设22λ为A 的特征值，由A +A=O2011数一考研真题及解析，知特征方程为: λ +λ=0，所以 λ= − 1 或 0 .由于A 为实对称矩阵，故A 可相似对角化，即 A ~Λ，r （A ）= r （Λ ）=3 ，因此⎡− 1⎤⎢⎥− 1A ~Λ= ⎢⎥,⎢− 1 ⎥⎢⎥⎣0⎦ 应选 (D) . 【评注】(1)若A 可对角化，则 r（A ）=A 的非零特征值的个数.(2)本题由A 2+A=O 即可得到A 可对角化，因此题设条件A 为实对称矩阵可去掉. 几乎原题见《经典讲义》线性代数部分的例题5.30，5.39,以及强化班第一讲中的例题8、 冲刺辅导班讲义线性代数部分例题4.⎧ 0,x < 0,⎪ 1 (7) 设随机变量的分布函数F (x)⎨,0 ≤ x < 1, 则 P {X =1}=⎪ 21− e −x , x ≥ 1.⎩11 −1− 1(A) 0.(B) .(C) − e .(D) 1−e .【 】224【答案】(C)【分析】本题考查如何利用分布函数来计算随机变量取值的概率，属基本题.【详解】根据分布函数的性质, 有− 1 1 1−1P {X =1}= P {X ≤ 1}− P {X0, b >0)为概率密度,则 a, b 应满足bf 2 (x), x > 0.⎩(A) 2a+3b=4.(B) 3a+2b=4.(C) a+b=1 .(D) a+b=2.【 】【答案】(A)【分析】本题考查连续型随机变量概率密度的性质，属基本题.x 2⎧11 − 2⎪ , − 1< x < 3,【详解】由已知有f 1 (x)e , f 2 (x) ⎨ 42π⎪0,其他.⎩由概率密度的性质有+∞0+∞1=∫−∞ f (x)dx ∫−∞ a f 1 (x)dx + ∫0 b f 2 (x)dxa +∞3 1a 32 ∫−∞ f 1 (x)dx + b∫0 4 dx 2 + 4 b ， 所以 2a+3b=4,选(A) . 几乎原题见《经典讲义》概率统计部分的例题2.5,以及强化班第二讲中的例题4. 二、填空题：9−14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上.．．．⎧−t2x ed y⎪ (9) 设⎨t22011数一考研真题及解析，求2.yln 1=+ u dudx⎪ ∫0 ()t 0⎩ 【答案】应填0 . 【分析】用参数方程确定函数的求导公式，属基础题型.ln 1+ t2dy()2 tt e, 【详解】− ln 1+dx−e−t()2 t2 d − ln 1+ t ed y(() ) dt ⎡ 2t t2 t ⎤ t 因而=⋅=−⋅ e − ln 1+ t e ⋅ −e ,dx2dtdx ⎢ 1+ t 2() ⎥ ( )⎣⎦d 2 y 所以| 0 0 .dx2 t 原题见《经典讲义》高等数学部分的习题精选二解答题的第2 题,以及强化班第二讲中的5 例题16.2π (10) ∫0x cos xdx. 【答案】 应填−4π . 【分析】令 xt ，两次用分部积分法. 【详解】 令 xt ，则 xt2 ，dx2tdt . 因而2πππ22∫0 x cos xdx∫0 2t cos tdt 2∫0 t d sin tππ2 ⎡t2 sin t π =− ∫ 2t sin tdt⎤ 4 ⎡∫ td cos t⎤⎢0 0⎥⎢ 0⎥⎣⎦⎣⎦π4 ⎡t cos t π =− ∫ cos tdt⎤ =−4π .⎢0 0⎥⎣⎦ 【评注】此题是简单无理函数的积分，属基本题型. 原题见《经典讲义》高等数学部分第四章例题4.9.(11) 已知曲线L 的方程为y=1 − x , x ∈ −1,1 ,起点是(− 1.0) ，终点是(1,0) ，则曲线积[]2 分∫L xydx + x dy.【答案】 应填 0.【分析】利用参数法直接计算.【详解】如图所示 LL =+ L ，其中12 L ：y1+ x , (− 1≤ x < 0) ，L：y1− x , (0 ≤ x < 1). 12222∫L xydx + x dy∫L xydx =+ x dy + ∫L xydx + x dy1201∫− 1[x (1=+ x ) + x 2 ]dx + ∫0 [x (1− x ) − x 2 ]dx01∫− 1(2x 2 =+ x )dx + ∫0 (x − 2x 2 )dx =0.故应填 0. 【评注】此题也可补曲线，用格林公式。

原题见《经典讲义》高等数学部分第八章例题8.9， 以及强化班第十二讲中的例题7.(12) 设Ω{(x , y ,z ) x 2 =+ y 2 ≤ z ≤ 1} ，则Ω 的形心坐标z.2【答案】 应填.36【分析】用柱面坐标计算两个三重积分，代入形心坐标的计算公式.42π1 ⎛ 1 r ⎞∫∫∫ zdxdydz2π dθ 1 rdr 1 zdz∫0 dθ ∫0 r ⎜ 2 − 2 ⎟ drΩ∫0∫0 ∫r2⎝⎠【详解】 z2π11∫∫∫ dxdydz∫0 dθ ∫0 rdr∫r2 dzπΩ212 62π ⎛ r r ⎞∫0 ⎜ 4 − 12 ⎟ dθ1 ⋅2π 2⎝⎠ 06