2022考研数学三套卷(数学二)自我复盘 - 哔哩哔哩(2022考研数学试卷)
最近赶稿交了87-08数一数二真题两本稿子，加上备课什么的也没有时间继续更。有同学问今年还会不会讲模拟题，我今年录了数二模拟题的配套视频以及昨天新开的主讲三套卷（按题型分类讲）的模拟预测班，接下来要全力投入去做87-08的数三的真题稿，所以确实没有精力计划再出点什么视频。非常抱歉~
有问题欢迎给我留言评论。我会陪伴大家走完最后冲刺的20多天~
-----------------------------------------------------------------------------------------
还是先贴出知乎的数一数二数三完整版链接。
https://zhuanlan.zhihu.com/p/436004193?
数一复盘的b站链接
https://www.bilibili.com/read/cv14229303
----------------------------------------------------------------------------------------
数二第一套
1、确定极限中的参数
2022开门红的极限题，推荐的办法是拉格朗日中值定理，比较快一点。
2、导数定义
概念题。导数与极限的关系，包括二阶导，应该算是比较经典的问题了。
3、★一元微积分综合
小综合题，考到了奇偶性、变限积分、函数性态分析与定积分的几何意义等。得到正确答案需要稍微算一下。
最终的结果是，这个积分是可以算出结果的。最开始设置选项的时候，想过把最终的结果算出来作为正确选项，而错误选项就设置一些计算上可能出问题的结果。但后来放弃了，因为觉得这样一来，这道题的计算量可能就有点偏大。而在其他要素已经足够饱和的情况下，就没必要再在计算上考验大家。于是选择做成了现在这个只在形式上小小迷惑一下大家的样子。
4、定积分的几何应用
旋转体的体积。摆线一拱绕轴与平行于轴的直线旋转所得旋转体的体积大小的比较，不用算出两个体积，而是作差来比较定积分的大小即可。
5、微分方程的解的结构
综合了两个点，一个是3阶常系数线性微分方程的特征方程，一个是解的叠加原理。
6、★多元微分概念（连续）
二元函数的连续性，这一点在2020年数二真题中考过，虽然出现并不多。这道题给出来的是两种不同的判定，一种是极限存在，一种是极限不存在（取曲线路径）。
7、★多元函数极值点定义
去年也出过类似的题，只不过这道题更坑一点，算了一堆给你一个不能判定的答案。也提醒大家再次注意极值点的定义。
8、矩阵的幂
幂零矩阵的高次幂，数一第一套中有一道填空题。
9、★正交矩阵综合
正交矩阵相关的一道综合题，涉及到特征值、相似与方程组。
正交矩阵的逆以及乘积均为正交矩阵，从而利用转置矩阵与原矩阵有相同的特征值可得命题1正确，命题2是结合了若可逆，则与相似这一命题得到其实命题2中的两个矩阵也都有相同的特征值。这里用到的两条结论都是基础班曾经在第五章讲过的，证明也都不难。
回头看一下，这道题涉及知识点的确较多，可能是有些不太合适。
10、特征值与二次型
这道题主要是计算问题。
数一第三套第21题以该类型矩阵出了一道大题，不过第一问是元二次型算秩。
这道题如果一个一个打开算，的确3阶也比较繁琐，所以是先整体带着均值计算最后再代入均值的表达式比较简洁。这种办法数一、数三同学应该相对比较熟，因为对均值符号熟悉。
11、★渐近线
这道题有点小故事，构思是在国庆节期间想到要做的。当时是想数二中有什么样的曲线还挺好玩但还没出过题，就想到了叶形线，研究了一番发现叶形线的渐近线还挺值得写的，于是第一个版本是出的叶形线的渐近线。
但过了国庆节之后，突然发现为啥b站给我推叶形线的渐近线的视频，我的想法原来早被出过题了，被人讲了，尴尬。。。
于是，就抓住隐函数方程这一点出了现在这一道。
12、导数的几何应用
这道题也很有故事，里面出现的曲线有不少花名，曳物线，追击线，犬线。
有同学要我说如何想题，如果拓展。就出题而论，我觉得考研里很多东西都很经典。像曳物线这条曲线，在考研中就出现过，2012年的数一第18题。
13、不定积分计算
三角换元考验基本功。
14、隐函数的全微分
笑面虎，仔细算，也是考验计算基本功的。
15、★定积分的物理应用(元素法)
元素法，包括了旋转体体积与物理应用。
这里要纠正一个错误，很多同学通过各种渠道向我反映这里的单位错了。不好意思，我失误了，一直没注意到这里液体流速的单位少了一个立方，好在大家的物理都比我好。谢谢指正~
物理应用题是数二的一个特色了，像这种液体体积变化有关的题目，去年出了一道，与真题比较相似的考法，今年这个可以学习一下。思想还是一致的。
16、特征值概念
这道题比较简单，就是考概念的。
不少同学说我们选择题难，填空题水。我同意大家的观点。
17、多元函数条件极值
这其实就是一道条件极值问题，不要被外表唬住，不是什么物理应用，计算我觉得也不是很复杂。
很多时候大家做题不要背上什么一定难或者一定简单的心理负担（当然一定简单不算是负担了），做题时，少关注背后的故事，这容易唬住自己，做完题，想怎么深挖故事都行。
18、二重积分计算
二重积分的概念与计算，数三2020年考过一道类似的大题（更早年份还考过选择题），我们去年出了一道数一的曲面积分的类似的大题。都是类似的，见得多了就没什么奇怪的。
这样的题现在来看应该算是比较常规的数列题了。与2006年数一、数二的一道大题相似，先是数列极限，然后是利用函数极限计算数列极限。
20、★高阶导数与微分方程
第一问是一个比较常规的方程转化的问题，以前的真题当中也出现过，主要是链式法则的运用。
第二问是一个高阶导数的计算问题，用莱布尼茨公式。这不过这里需要先构造出一个等式然后两端同时利用莱布尼茨公式求高阶导。这也算是一种比较经典的高阶导数的计算办法。
今年上半年的高阶导数网红题
相关的那道与这道其实是如出一辙。
有同学问我这里的这个函数有什么背景，其实是与勒让德多项式有关，感兴趣的同学可以自行百度。
21、★一元与多元综合
与数一第一套第19题是一个模板生产的。只不过数一里的函数是抽象的，而这里是。
这是一道改编题，原题没有加第一问的铺垫，为了达到考研的水平，加了这一问，给一个台阶。
第一问本质是一个一元微分的题，大体思路是夹逼准则，解析给的是两次拉格朗日，有同学私信问我洛必达是否可行，当然可以，也有见到直接拆分利用导数定义的，都很好。
第二问是一个二次变限积分的极限问题，这种一般就考虑交换积分次序即可，有第一问的结论，第二问不难。
22、★正定二次型与最值问题
这道题原本的版本可能不太适合考研，但我在讲完题之后再三思考改成了现在这个版本，直接给出
就是最小值点，只需要证明它，这大大降低了构造难度，应该是在考研范围内可以利用学过知识解决的。关键是利用正定性得到大于等于号。
最后多说一句，这个问题其实也是一个比较经典的结果，比较类似一元二次函数当中的配方找最小值，这里相当于推广到了元二次函数配方找最小值。
数二第二套
1、★间断点
虽然是个常见考点，但换了一种问法，试图写出新意，用了一个至多个数的问法，所以在分析问题上，就需要想想为什么会有至多这种问法出现？
2、利用导数分析函数性态
用数列的表，出函数的里。关键在最小值这里。数列从开始，这会使得能取到最小值，但如果从开始，那就取不到了。这里是可以设置陷阱的。
3、积分比大小
常规题，直接比。
4、★周期函数的定积分
从4个命题中可以看出应该是考查周期函数，但周期函数的信息给的比较隐晦，将周期隐藏在了对称这个条件里，需要先自己分析出周期为2，接下来的事情其实就是周期函数的积分的一些有关结论了。
这道题是想再出一道21年三套卷中的类似的一道题，虽然出题角度不同，但思想类似。
6、无条件极值应用
一个简单的应用问题，三元函数利用化为二元函数的无条件极值。有经验的话，应该不难发现在时取得最小值。
7、二重积分比较大小
计算量偏大的一道选择题。在比较与的大小时，需要用的零点作为区间划分的点，从而能找到分界点。
8、线性方程组
考查的是行满秩矩阵的性质，与数一第一套第5题类似。
这道题其实在考点上与数二第三套第22题略有重复，但这里的矩阵
不能相似对角化，更接近2020年数一数三卷的线代大题的考法。
考到了分块矩阵运算与的性质。
数一第二套第7题为这道题的升级版。
换元积分与极限计算的综合。
12、高阶导数计算
有理分式的高阶导数。有理分式，先拆分成多项式与真分式之和，再将真分式分解成为两个分母为一次多项式的分式之和，从而可以逐次求导计算高阶导数。
13、★偏导数的计算
极坐标变换与链式法则。
14、★参数方程给定的函数求导综合
计算量略大的一道填空题，要领会题目条件当中给的的用意。
常规题。
16、★抽象行列式
与21年三套卷的一道题很像，但是多了反对称矩阵这样一个性质的应用。
17、二重积分中值定理
其实是一道常规的计算，里面结合了二重积分中值定理与一元极限计算。
这道题其实和21三套卷的一道填空题非常接近，也是星形线作为曲线。
这道题其实给出来的是二阶常系数线性微分方程的另一种解题思路。
19、数列极限
这道题我只是搬运工，我见到的题源是谢惠民老师的一本书后的习题，当时第一眼就觉得这个和2011年数一、数二的一道真题太像了，做了一下，思路简直一模一样。
20、★多元微分综合
这道题有一定的综合性，综合了导数定义，微分方程与偏积分，比较卡人的一点应该是利用导数定义找微分方程。
21、不等式与反常积分
这道题里的不等式是一个很经典的结论。设置了两问，第一问是辅助问，证明是十分常规的。第二问的证明要与第一问的结论相结合，想到如何出现，所以会要用换元。
这道题的背景是马尔可夫矩阵，元素均非负且各列元素之和大于0.当时看到这个就想到各列元素之和与考研中已经用烂的各行元素之和是平行的，所以就可以和特征值与特征向量结合在一起出题。
第三问是考查这样一条性质，矩阵与它的转置矩阵，属于不同特征值的特征向量相互正交。这条性质在数一第二套第7题中也考查了（这道题前面贴过了）。实对称矩阵属于不同特征值的特征向量相互正交可以看作这条性质的特例。
数二第三套
1、无穷小量比阶
这道题在数一和数三卷中也出了同类题，属于常规题了。这道题用了3个二次变限积分。
2、一元微分（导数与极限）
导数的定义题，常规。
3、★凹凸性
考查凹凸性的定义。
题干中的条件主要是要使得复合函数在区间上有良好定义。
这里选项a、b的反例要修改一下，使之符合题干要求。
与数一第一套第3题类似，这里用的是单调增加的一个函数。
数一的版本如下。
这道反常积分审敛应该不算太复杂，还是一样，要分别考虑瑕点与无穷远点是否收敛。但是无论从哪里开始讨论，分析完一个位置收敛对应的
的范围直接代入第二个位置就能发现不满足收敛要求了。
6、坐标系选择
常规题。
7、★二元函数极值
考查到了二元函数极值的三个方面:必要条件、充分条件以及定义。定义是最后的杀手锏。
当然，这里也有同学问极值点的定义是否不能取等号，如果取等号答案就不同了。从我从事考研数学教学以来，一直都用的是同济教材作为参考，所以这里也是以该教材上的定义为准的。如果在这一点上有什么争议的话，那么我想真题的出题人应该会避免，要么明确定义，要么避免问这样的问题。
8、线性相关
这里的正确命题与数一第二套第5题一致，来自同济课后习题的一个练习。它的直观理解是，一个线性相关的向量组，如果第一个向量非零，那么它总能一步一步添加向量，使得前
步的向量组无关，但第步的向量组相关，从而第个向量可以由前个向量线性表示。
9、特征值综合
特征值的一些综合考查了，观察力很重要。
10、矩阵综合(反对称矩阵与二次型)
常规计算。
12、★n阶常系数线性微分方程的解
这里主要的点在于共轭复根也带上重数了。
13、导数的物理应用
角速度与线速度的转化。
14、定积分的几何应用+变限积分求导
常规题。
15、二次积分交换次序
交换次序老朋友了。
16、行列式(范德蒙德行列式)
利用行列式的性质不停拆分降解，最终变成一个范德蒙德行列式。
17、二重积分计算
非常简单的一道计算题。
18、偏导数的计算
这种考法在2021年真题之后，应该就渐渐不陌生了。解题方法为利用链式法则求导然后建立方程。
这是一种比较经典的问题，第一问先铺垫不等式，第二问利用夹逼准则以及定积分的定义计算
项和式的极限。
20、微分方程的几何应用 (旋转体的侧面积)
这种题应该算是比较常规的问题，要求会算。
有同学问我是不是有另外一种可能，我觉得应该没有。我们限制了的角度是，这个是切线与轴的夹角，这里我们一般都是理解成与轴正向的夹角的。
21、★介值定理与中值定理
设计时是想考查介值定理与拉格朗日中值定理的，让大家自己去发现这个不同的点的含义。但也许出了一点漏洞。
有同学问我能不能直接写观察得到，，取不同于这两个位置的点即可。我觉得不行，毕竟这与出题人意图相违背。我们这道题是没有出好，以至于出现了这样的情况，我相信真实的考题是不会这样的。
总而言之，学方法，真正的考题很少有空子可钻。
22、★特征值与向量组线性相关
这道题与数一有一道对应题(数一第二套第21题)，数一考的是3阶矩阵，这里考的是2阶矩阵。
在出题时，我们发现，通过线性无关的向量组构造得到的可逆矩阵与直接利用对角矩阵做过渡求得的可逆矩阵是不同的。2阶情形还好，分别计算并没有太复杂，所以我们设计了两种计算方法，并把第一问设计成了证明满足要求，这样能保证唯一性。
数一那道3阶的题，如果去计算由对角矩阵过渡得到的，就会复杂很多，所以我们的解析就并没有提供这样一种解法，第三问顺承第二问也是更方便，这样让大家能尽量跟着我们设计的解法走，最后我们也在注中说明了这一点。
---------------------------------------------------------------------
数三的复盘歇两天再写~
有问题欢迎给我留言评论。我会陪伴大家走完最后冲刺的20多天~
-----------------------------------------------------------------------------------------
还是先贴出知乎的数一数二数三完整版链接。
https://zhuanlan.zhihu.com/p/436004193?
数一复盘的b站链接
https://www.bilibili.com/read/cv14229303
----------------------------------------------------------------------------------------
数二第一套
1、确定极限中的参数
2022开门红的极限题，推荐的办法是拉格朗日中值定理，比较快一点。
2、导数定义
概念题。导数与极限的关系，包括二阶导，应该算是比较经典的问题了。
3、★一元微积分综合
小综合题，考到了奇偶性、变限积分、函数性态分析与定积分的几何意义等。得到正确答案需要稍微算一下。
最终的结果是，这个积分是可以算出结果的。最开始设置选项的时候，想过把最终的结果算出来作为正确选项，而错误选项就设置一些计算上可能出问题的结果。但后来放弃了，因为觉得这样一来，这道题的计算量可能就有点偏大。而在其他要素已经足够饱和的情况下，就没必要再在计算上考验大家。于是选择做成了现在这个只在形式上小小迷惑一下大家的样子。
4、定积分的几何应用
旋转体的体积。摆线一拱绕轴与平行于轴的直线旋转所得旋转体的体积大小的比较，不用算出两个体积，而是作差来比较定积分的大小即可。
5、微分方程的解的结构
综合了两个点，一个是3阶常系数线性微分方程的特征方程，一个是解的叠加原理。
6、★多元微分概念（连续）
二元函数的连续性，这一点在2020年数二真题中考过，虽然出现并不多。这道题给出来的是两种不同的判定，一种是极限存在，一种是极限不存在（取曲线路径）。
7、★多元函数极值点定义
去年也出过类似的题，只不过这道题更坑一点，算了一堆给你一个不能判定的答案。也提醒大家再次注意极值点的定义。
8、矩阵的幂
幂零矩阵的高次幂，数一第一套中有一道填空题。
9、★正交矩阵综合
正交矩阵相关的一道综合题，涉及到特征值、相似与方程组。
正交矩阵的逆以及乘积均为正交矩阵，从而利用转置矩阵与原矩阵有相同的特征值可得命题1正确，命题2是结合了若可逆，则与相似这一命题得到其实命题2中的两个矩阵也都有相同的特征值。这里用到的两条结论都是基础班曾经在第五章讲过的，证明也都不难。
回头看一下，这道题涉及知识点的确较多，可能是有些不太合适。
10、特征值与二次型
这道题主要是计算问题。
数一第三套第21题以该类型矩阵出了一道大题，不过第一问是元二次型算秩。
这道题如果一个一个打开算，的确3阶也比较繁琐，所以是先整体带着均值计算最后再代入均值的表达式比较简洁。这种办法数一、数三同学应该相对比较熟，因为对均值符号熟悉。
11、★渐近线
这道题有点小故事，构思是在国庆节期间想到要做的。当时是想数二中有什么样的曲线还挺好玩但还没出过题，就想到了叶形线，研究了一番发现叶形线的渐近线还挺值得写的，于是第一个版本是出的叶形线的渐近线。
但过了国庆节之后，突然发现为啥b站给我推叶形线的渐近线的视频，我的想法原来早被出过题了，被人讲了，尴尬。。。
于是，就抓住隐函数方程这一点出了现在这一道。
12、导数的几何应用
这道题也很有故事，里面出现的曲线有不少花名，曳物线，追击线，犬线。
有同学要我说如何想题，如果拓展。就出题而论，我觉得考研里很多东西都很经典。像曳物线这条曲线，在考研中就出现过，2012年的数一第18题。
13、不定积分计算
三角换元考验基本功。
14、隐函数的全微分
笑面虎，仔细算，也是考验计算基本功的。
15、★定积分的物理应用(元素法)
元素法，包括了旋转体体积与物理应用。
这里要纠正一个错误，很多同学通过各种渠道向我反映这里的单位错了。不好意思，我失误了，一直没注意到这里液体流速的单位少了一个立方，好在大家的物理都比我好。谢谢指正~
物理应用题是数二的一个特色了，像这种液体体积变化有关的题目，去年出了一道，与真题比较相似的考法，今年这个可以学习一下。思想还是一致的。
16、特征值概念
这道题比较简单，就是考概念的。
不少同学说我们选择题难，填空题水。我同意大家的观点。
17、多元函数条件极值
这其实就是一道条件极值问题，不要被外表唬住，不是什么物理应用，计算我觉得也不是很复杂。
很多时候大家做题不要背上什么一定难或者一定简单的心理负担（当然一定简单不算是负担了），做题时，少关注背后的故事，这容易唬住自己，做完题，想怎么深挖故事都行。
18、二重积分计算
二重积分的概念与计算，数三2020年考过一道类似的大题（更早年份还考过选择题），我们去年出了一道数一的曲面积分的类似的大题。都是类似的，见得多了就没什么奇怪的。
这样的题现在来看应该算是比较常规的数列题了。与2006年数一、数二的一道大题相似，先是数列极限，然后是利用函数极限计算数列极限。
20、★高阶导数与微分方程
第一问是一个比较常规的方程转化的问题，以前的真题当中也出现过，主要是链式法则的运用。
第二问是一个高阶导数的计算问题，用莱布尼茨公式。这不过这里需要先构造出一个等式然后两端同时利用莱布尼茨公式求高阶导。这也算是一种比较经典的高阶导数的计算办法。
今年上半年的高阶导数网红题
相关的那道与这道其实是如出一辙。
有同学问我这里的这个函数有什么背景，其实是与勒让德多项式有关，感兴趣的同学可以自行百度。
21、★一元与多元综合
与数一第一套第19题是一个模板生产的。只不过数一里的函数是抽象的，而这里是。
这是一道改编题，原题没有加第一问的铺垫，为了达到考研的水平，加了这一问，给一个台阶。
第一问本质是一个一元微分的题，大体思路是夹逼准则，解析给的是两次拉格朗日，有同学私信问我洛必达是否可行，当然可以，也有见到直接拆分利用导数定义的，都很好。
第二问是一个二次变限积分的极限问题，这种一般就考虑交换积分次序即可，有第一问的结论，第二问不难。
22、★正定二次型与最值问题
这道题原本的版本可能不太适合考研，但我在讲完题之后再三思考改成了现在这个版本，直接给出
就是最小值点，只需要证明它，这大大降低了构造难度，应该是在考研范围内可以利用学过知识解决的。关键是利用正定性得到大于等于号。
最后多说一句，这个问题其实也是一个比较经典的结果，比较类似一元二次函数当中的配方找最小值，这里相当于推广到了元二次函数配方找最小值。
数二第二套
1、★间断点
虽然是个常见考点，但换了一种问法，试图写出新意，用了一个至多个数的问法，所以在分析问题上，就需要想想为什么会有至多这种问法出现？
2、利用导数分析函数性态
用数列的表，出函数的里。关键在最小值这里。数列从开始，这会使得能取到最小值，但如果从开始，那就取不到了。这里是可以设置陷阱的。
3、积分比大小
常规题，直接比。
4、★周期函数的定积分
从4个命题中可以看出应该是考查周期函数，但周期函数的信息给的比较隐晦，将周期隐藏在了对称这个条件里，需要先自己分析出周期为2，接下来的事情其实就是周期函数的积分的一些有关结论了。
这道题是想再出一道21年三套卷中的类似的一道题，虽然出题角度不同，但思想类似。
6、无条件极值应用
一个简单的应用问题，三元函数利用化为二元函数的无条件极值。有经验的话，应该不难发现在时取得最小值。
7、二重积分比较大小
计算量偏大的一道选择题。在比较与的大小时，需要用的零点作为区间划分的点，从而能找到分界点。
8、线性方程组
考查的是行满秩矩阵的性质，与数一第一套第5题类似。
这道题其实在考点上与数二第三套第22题略有重复，但这里的矩阵
不能相似对角化，更接近2020年数一数三卷的线代大题的考法。
考到了分块矩阵运算与的性质。
数一第二套第7题为这道题的升级版。
换元积分与极限计算的综合。
12、高阶导数计算
有理分式的高阶导数。有理分式，先拆分成多项式与真分式之和，再将真分式分解成为两个分母为一次多项式的分式之和，从而可以逐次求导计算高阶导数。
13、★偏导数的计算
极坐标变换与链式法则。
14、★参数方程给定的函数求导综合
计算量略大的一道填空题，要领会题目条件当中给的的用意。
常规题。
16、★抽象行列式
与21年三套卷的一道题很像，但是多了反对称矩阵这样一个性质的应用。
17、二重积分中值定理
其实是一道常规的计算，里面结合了二重积分中值定理与一元极限计算。
这道题其实和21三套卷的一道填空题非常接近，也是星形线作为曲线。
这道题其实给出来的是二阶常系数线性微分方程的另一种解题思路。
19、数列极限
这道题我只是搬运工，我见到的题源是谢惠民老师的一本书后的习题，当时第一眼就觉得这个和2011年数一、数二的一道真题太像了，做了一下，思路简直一模一样。
20、★多元微分综合
这道题有一定的综合性，综合了导数定义，微分方程与偏积分，比较卡人的一点应该是利用导数定义找微分方程。
21、不等式与反常积分
这道题里的不等式是一个很经典的结论。设置了两问，第一问是辅助问，证明是十分常规的。第二问的证明要与第一问的结论相结合，想到如何出现，所以会要用换元。
这道题的背景是马尔可夫矩阵，元素均非负且各列元素之和大于0.当时看到这个就想到各列元素之和与考研中已经用烂的各行元素之和是平行的，所以就可以和特征值与特征向量结合在一起出题。
第三问是考查这样一条性质，矩阵与它的转置矩阵，属于不同特征值的特征向量相互正交。这条性质在数一第二套第7题中也考查了（这道题前面贴过了）。实对称矩阵属于不同特征值的特征向量相互正交可以看作这条性质的特例。
数二第三套
1、无穷小量比阶
这道题在数一和数三卷中也出了同类题，属于常规题了。这道题用了3个二次变限积分。
2、一元微分（导数与极限）
导数的定义题，常规。
3、★凹凸性
考查凹凸性的定义。
题干中的条件主要是要使得复合函数在区间上有良好定义。
这里选项a、b的反例要修改一下，使之符合题干要求。
与数一第一套第3题类似，这里用的是单调增加的一个函数。
数一的版本如下。
这道反常积分审敛应该不算太复杂，还是一样，要分别考虑瑕点与无穷远点是否收敛。但是无论从哪里开始讨论，分析完一个位置收敛对应的
的范围直接代入第二个位置就能发现不满足收敛要求了。
6、坐标系选择
常规题。
7、★二元函数极值
考查到了二元函数极值的三个方面:必要条件、充分条件以及定义。定义是最后的杀手锏。
当然，这里也有同学问极值点的定义是否不能取等号，如果取等号答案就不同了。从我从事考研数学教学以来，一直都用的是同济教材作为参考，所以这里也是以该教材上的定义为准的。如果在这一点上有什么争议的话，那么我想真题的出题人应该会避免，要么明确定义，要么避免问这样的问题。
8、线性相关
这里的正确命题与数一第二套第5题一致，来自同济课后习题的一个练习。它的直观理解是，一个线性相关的向量组，如果第一个向量非零，那么它总能一步一步添加向量，使得前
步的向量组无关，但第步的向量组相关，从而第个向量可以由前个向量线性表示。
9、特征值综合
特征值的一些综合考查了，观察力很重要。
10、矩阵综合(反对称矩阵与二次型)
常规计算。
12、★n阶常系数线性微分方程的解
这里主要的点在于共轭复根也带上重数了。
13、导数的物理应用
角速度与线速度的转化。
14、定积分的几何应用+变限积分求导
常规题。
15、二次积分交换次序
交换次序老朋友了。
16、行列式(范德蒙德行列式)
利用行列式的性质不停拆分降解，最终变成一个范德蒙德行列式。
17、二重积分计算
非常简单的一道计算题。
18、偏导数的计算
这种考法在2021年真题之后，应该就渐渐不陌生了。解题方法为利用链式法则求导然后建立方程。
这是一种比较经典的问题，第一问先铺垫不等式，第二问利用夹逼准则以及定积分的定义计算
项和式的极限。
20、微分方程的几何应用 (旋转体的侧面积)
这种题应该算是比较常规的问题，要求会算。
有同学问我是不是有另外一种可能，我觉得应该没有。我们限制了的角度是，这个是切线与轴的夹角，这里我们一般都是理解成与轴正向的夹角的。
21、★介值定理与中值定理
设计时是想考查介值定理与拉格朗日中值定理的，让大家自己去发现这个不同的点的含义。但也许出了一点漏洞。
有同学问我能不能直接写观察得到，，取不同于这两个位置的点即可。我觉得不行，毕竟这与出题人意图相违背。我们这道题是没有出好，以至于出现了这样的情况，我相信真实的考题是不会这样的。
总而言之，学方法，真正的考题很少有空子可钻。
22、★特征值与向量组线性相关
这道题与数一有一道对应题(数一第二套第21题)，数一考的是3阶矩阵，这里考的是2阶矩阵。
在出题时，我们发现，通过线性无关的向量组构造得到的可逆矩阵与直接利用对角矩阵做过渡求得的可逆矩阵是不同的。2阶情形还好，分别计算并没有太复杂，所以我们设计了两种计算方法，并把第一问设计成了证明满足要求，这样能保证唯一性。
数一那道3阶的题，如果去计算由对角矩阵过渡得到的，就会复杂很多，所以我们的解析就并没有提供这样一种解法，第三问顺承第二问也是更方便，这样让大家能尽量跟着我们设计的解法走，最后我们也在注中说明了这一点。
---------------------------------------------------------------------
数三的复盘歇两天再写~