21考研数学二真题：20考研数学的启示与21考研数学建议

20考研数学落下帷幕已一周有余，关于这次考试的难或是不难，平均分降或者不降，相信大家也都已经有了自己的看法。关于试题本身的体会，我们就不再去重复。今天我想讲一下我对这次考试的理解，它带给我们的启示，以及对将来复习的一些建议。

我们以问答的形式呈现。

1、20考研数学难吗？

毫无疑问，今年的题是偏难的，横向比较的话，数一>数二>数三。个人觉得思考跨度上的难度要比计算负荷上的难度要大。

2、数一、数二、数三各有什么特点？

这一点我之前提过，在这里再重复一次我对今年三张试卷的看法。

数一：重基本概念、重理解、考查细致、新颖、灵活、多变。

数二：重基本概念、重计算、考查全面，计算量较大。

数三：理解与计算并重，试题设计较为平衡。

3、高数题给我们以什么启示？

高数部分，在选择题方面，出现了一些以前没覆盖过的，但又是很基本的概念，例如二重极限（数二），中心极限定理（数一）等。说明出题人有意扩大考查的知识范围，不再聚焦某些特定的知识点范围。真正实现，大纲之下，众生平等。

高数的大题，虽然今年的总体难度比较高，但是真正思维跨度大的并不多。最需要有分析力、创造力的题仍然还是证明题。也就是，不论哪一年考，它的难度系数始终都不会变化太大。

数一普遍反映得分低的曲面积分题，实际上并不能算是思维跨度大的题，只能说是大家被自己的思维定势所禁锢住，导致遗憾。这样的题，明年再考，相信大家就不会在这道题上一败涂地了。19年数一就没考高斯公式，考了一个基本计算，20年继续这样，希望能给后来的考生一点启发。

考研数学不是竞赛数学。竞赛数学的题往往思路较险峻，华山一条道21考研数学二真题，而且不是那么轻易找到；而考研数学更类似于坡度较平缓的山，有时候设置两问甚至还能减少思维坡度。但是从今年的考研题看，命题组希望大家能够更踏实地掌握好高等数学的基本思想和方法，这一点在考试分析中已经不止一次提过。例如：不是看到第二类曲面积分就只想到高斯，不是看到求函数表达式就想到微分方程。思维定势不是思考，立足问题本身去分析才是思考。很多时候，其实并没有那么玄乎，高数题，除了压轴的证明题外，想拿高分，基本功扎实才是硬道理。

4、线代题给我们以什么启示？

线代小题仍然维持之前的风格。大题的变化较大。数一、数二、数三一共3道线代大题，其中数一、数三相同，数二有一道不同，考二次型的合同变换。这三道题，大家都可以再去回味一下。考合同变换的题，属于之前没考过的一种考法，方法一旦了解，属于常规但计算量较大的题，相信明年再考，大家在思路上也不会有问题了。另外两道，比较灵活，但出法也是历年真题里用过的21考研数学二真题，只是可能条件稍加变化，就有同学被障眼法蒙蔽。

很多同学在考完20的卷子后说，真题没有用了，做那么多真题白做了。其实我并不赞同。我们看事物，要看到它的核心与本质，而非表面与形式。一道题，它并不只是一道题，它是一类题，包括整条思路雷同、部分思路雷同、改头换面后雷同、甚至思路相对的题（思路相对，参考幂级数与微分方程的综合题，一种从微分方程出发找递推关系；一种从递推关系出发找微分方程）。

线代题，读懂题目永远是最重要的，它有时候会比高数题出得更高级一点，让人更琢磨不透一点。但实际上，读明白了21考研数学二真题，线代大题永远都只是那三板斧，方程组、特征值与特征向量、二次型。相比高数需要会算的，实在已经是少太多了。

但怎么读懂题？这就回到基本概念上。从基础阶段的开始，到冲刺阶段，相信大家会反复地接触到其中的核心概念，比如秩、比如方程组等，比如线性变换等。这些东西，它们之间都是交错复杂的。每个阶段结束，对每个知识点，尝试找到你所有能想到与之有关的内容。写下来，讲出来，一定会对提高你对基本概念的理解，培养思路迁移能力是有用的。

5、概率题给我们以什么启示？

在试题的出题变化上，线代题算是打了头阵。同样与线代大题躺在舒适区的概率大题，今年没有特别剧烈的变化，只是伸了一个懒腰。但是我们要警惕将来的变化。

概率题向来以死板、变化少著称。但从16年开始，数一的概率小题开始隔年出现一次冷门考点，16年置信区间、18年假设检验、20年中心极限定理。我尤记得考假设检验那年的考试分析上说，要考查核心概念。虽然对考研的同学来说，不管是概率的核心还是统计的核心，大家都只认考查频率，考研谁考得多谁就最核心，但事实上，假设检验的确是统计核心之一，而今年考的中心极限定理也正是概率论中的核心定理。考试分析，诚不我欺。

既然如此，大家在复习时，对这些学科核心知识，基本思想还是需要有一定了解的。套用鲁迅先生的一句话，考研中本没有热门考点，考的多了，也就成了热门考点。事实上，矩估计和最大似然估计，也只是从00年之后才渐渐热起来的。

另外，今年的概率题，整体上是灵活了一些的，或者说，进行了一些去套路化。例如数一的第22题，明明只是考基本的二维分布，但是就考得那么清新脱俗；共同的第23题，加了一点点应用背景；例如数三的第8题和第14题，也是非常好的。这种改变在我看来，是一种试探。考虑到大家整体的概率复习水平，不能大刀阔斧地对概率题下手，就做一些局部的改造，让大家能慢慢适应这种变化。

如果将来的考研延续这样一种出题指导思想，概率题也会逐步提高难度，例如在题目中增加一些应用的成分，因为概率统计本来就是一门应用性相当强的学科。

6、考研数学需要天分，我脑子不够灵光是不是没戏了？

这个问题的回答，我想说，主要还是看你自己。

我想能问出这个问题的同学，一定还是希望能够努力一把的同学。如果真的已经放弃，应该不会点开诸如我这种标题的文章的。所以，我还是从建议的角度来说。

基础特别好，脑子特别灵光的同学不用听我废话，我想大家应该早就有自己的一套打算，也不会犹豫什么。

首先一点，我并不认为考研数学需要多高的天分，在一年这样一个漫长的时间范围，努力是可以填补上那一点天分的差距的。只是要问问自己，能不能坚持下来这种努力。

我一直都觉得，我们大多数人做的大多数事情，真的谈不上比拼天分。尤其是在漫漫人生，尤其如此。

7、既然要努力，该如何下手？

我想说一点实在的，尽量实用的。请注意：实用不意味着有捷径。考研数学没有捷径。如果抱着有捷径的想法读下面的内容，可能会失望。

(1)坚定信念，不畏困难。既然要考，就要端正态度。

这两天我回复了一位同学的私信，他说自己基础很差，已经对数学产生了恐惧心理，但又还想努力一把，应该怎么做。我说，因为看不懂书、不会做题，久而久之产生恐惧心理都是正常的。正确看待这种心理，不要特殊对待它。对不懂的知识点和不会做的题，就当做是需要去解决的问题去看待，尽量不要给自己太多的心理暗示。另一方面，基本概念不会可以看视频，但是看完一定要自己去做练习，不能只看视频讲解。随着自己能力的提高，慢慢就能淡忘恐惧心理。

一方面，不要给自己“太难了，我不行”这种心理暗示；另一方面，从最基本的开始练，提高水平。

(2)踏实，不跟风，不盲从。

踏实一点。不要过于恐惧考研数学，也不要对考研数学抱有不切实际的幻想。复习的主角是自己，所有的收获也都是要靠自己努力获得。对于基础不够好的同学，如果要考研，必须得早准备。

如果时间充足，我衷心希望大家可以看看同济教材这本宝藏。寒假期间，可以找到其中与考研相关的章节，好好研读一下基本概念与典型例题，并且做一做课后习题。大家从辅导书上学的很多花里胡哨的公式，结论，很多都是来自同济教材。例如：第五章定积分里，就有大家熟悉的sin^nx，cos^nx在[0,pi/2]上的积分公式的推导等。数二同学最发怵的物理应用题，也都能从定积分的应用这一章找到几乎最全面的典型模型。同济教材也有配套视频课程的，b站上有上海交大乐经良老师的课，可以有选择地看看。

之后，基础复习阶段，选择一本全面的辅导书即可，不用贪多，因为核心内容大同小异。如果一本能消化下来，就很不错了。喜欢读谁的就读谁的。基本概念不懂的可以看一些视频，但请记住，看完视频还是得做题。做题是学数学的主旋律。

至于之后的强化、冲刺，也是一样，自己做题最重要。不会再看答案，再看视频。

8、如何提高做题效率？

我觉得效率是一个伪命题，能力高，自然做题快，能力不足，自然做题慢。这是客观事实。为了完成某个数字上的目标而表面的刷题不是真正的做题。所以我也不认为什么二刷三刷是特别能体现努力程度的字眼。

做题就是实打实的，独立思考计算的过程。所以接下来，我想讲的是如何让做题的效果最大化。

复习数学最忌讳的就是，只看视频，不做题，只看解答，不做题，复习开始得很早，但到了12月了，从头到尾都没有自己完完整整算完几道题。

看视频，看答案会给大家带来一种错觉，我懂了，我会了。但如果没有真正去练21考研数学二真题，去算，是很难会有深刻的领悟的。如同石上沙，风吹就散。

我们不否认基础不好的同学需要辅助，但是跟着老师听一遍，跟着老师的思路走其实就像开了挂，它带着你打通关，告诉你应该走哪条路，为什么应该走那条路，可能会碰到哪些怪，该怎么闪避，该怎么进攻，但是没有真正一个人站在路口，一个人走一遍的话，是体会不到老师所说的话的。老师为什么能带你轻松打通关，那是因为老师自己也打了一遍，帮你踩了一遍坑，排了一遍雷了。

所以，对基础不好的同学，建议自己先做，多花点时间去思考，实在思考不动，把自己卡住的点记下来，再去看答案，看视频，并且再看完之后总结，反思。当天就合上书本自己再写一遍，如有条件，和同学讲一遍，看能不能讲清楚。然后，去做同类的题，看能不能完成思路迁移。最后，隔上一段时间，再来看这道题，还会不会做。这样才算这道题的一个比较完整的学习过程。

计算的训练我就不多说了，每一道题都要算完。相信经历过考场洗礼的同学都会认同这一点。现阶段，考研数学区分能力最强的题，仍然还是思路较典型常规，但计算量稍大的题。

这样一个过程是需要耗费心力的。不要急于求成，不要觉得一周、两周内就能提高，坚持三个月、坚持半年、再到一年。你的坚持会有回报的。

9、面对考研试题越来越灵活的趋势，该如何应对？

这倒是一个非常值得思考的问题。

对基础较好，思路较开阔的同学，这一点其实并不难。

以下回答仍针对基础相对一般的同学。

(1)重视真题。

有时间有能力的话，所有真题都训练一次。87-96年的可作为基础训练，97年之后的，如果有能力，可以逐年做做，然后再分类做做。时间不够可以适当地减少负荷，不能为了量而牺牲质。

97-03这几年的题，难度还是比较高的，有许多很灵活，出得很巧妙的题。像20年的试题，就有好几道出自这几年。具体分析，可以去看我的b站专栏文章。

鉴于今年这个出题风格，建议大家可以把往年中非常经典的巧妙的但近些年又没怎么出过的类型好好琢磨一下，掌握好这些题的解题思想。以后有时间我会继续写这方面的内容。这些往年的题目真的就是宝藏。

(2)基础、强化阶段仍以熟悉基本思路、典型思路为主，冲刺阶段除了真题外，可以适当拿一些模拟题练手。

其实是为了训练思维迁移能力。我们做模拟题的目的不是为了去看到原题，这种概率微乎其微。模拟题体现的是出题老师对今年考题的一种预测，每位老师对命题的理解不一样，出出来的题感觉也就不同。但对我们考生来说，寻求一些新鲜的题目作为刺激，活跃思维，甚至说训练思维迁移能力，都是可以的。不建议做那种在某一个细枝末节上纠缠不放的计算，考研一般不会在这方面难为大家，很多时候，题目的数字往往都是很简洁的，计算结果最终也都还是比较干净的。

思路灵活的题，接近真题出题风格的题都是值得推荐的。我个人最喜欢的是合工大的超越和共创，超越更加灵活、新颖一点，共创比较接近真题风格。

(3)扩大平时训练的题库，见到更多种类型的题。

其实这一点，更多的是取决于用的书或者跟的老师。也可以说是出书人或者授课老师的任务吧。

从同学自身的角度出发，基础比较好的，有很高的鉴别能力的，可以自己适当地做一些竞赛题。基础一般的，就不用了过早去贪恋竞赛题了，踏踏实实把基础打牢，啃完大部头全书，做完习题册，做完真题，再做点模拟题就差不多了。

以上就是我想谈的20考研数学给我们的一些启示以及21复习的一些建议。希望对大家有所帮助。