2012年考研数学一真题及答案：数学2012年考研数学真题及参考答案（数学一）

2012年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题七年级有理数混合运算100题乘法口算100题计算机一级题库二元一次方程组应用题真心话大冒险刺激问题解析一选择题1～8小题每小题4分共32分下列每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求的请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上1曲线yA0B1C2D3答案C解析limx→1x2xx2−1x2xx2−1渐近线的条数为∞所以x1为垂直的limx2x1所以y1为水平的没有斜渐近线故两条选Cx2x−2Lenx−n其中n为正整数则f0A−1n−1n−1nC−1n−1nn答案Cx2x−2Lenx−nex−12e2x−2Lenx−nLex−1e2x−2Lnenx−nn−1n3如果fxy在00处连续那么下列命题正确的是A若极限limx→0y→0B若极限limx→0y→0fxyxyfxyx2y2存在则fxy在00处可微存在则fxy在00处可微您所下载的资料来源于kaoyancom考研资料下载中心获取更多考研资料请访问httpdownloadkaoyancom．．．x→∞x2−12设函数一次函数的图像和性质标准差函数反三角函数公式表三角函数积分反三角函数公式fxe−1eB−1n−1D−1n解析fxee所以f0−1C若fxy在00处可微则极限limx→0y→0D若fxy在00处可微则极限limx→0y→0答案fxyxyfxyx2y2存在存在x→0y→0fxyx2y2存在则必有f00limfxy0x→0y→0这样limx→0y→0fxy22就可以写成limx→0y→0fxy−f0022也即极限limx→0y→0fxy−f00x2y2存在可知limx→0y→0fxy−f00220也即fxy−f000x0yox2y2由可微的定义可知fxy在00处可微4设Ikke2sinxdxk123则有DAI1I2I3CI1I3I1答案DBI2I2I3DI1I2I3解析Ikk22e即可知Ikk2e在0上为单调增函数又由于123∈0则I1I2I3故选D⎛0⎞⎛0⎞⎛1⎞⎛−1⎞ccc⎟⎜⎟⎜的是A123C134答案CB124D234解析由于13400c11−1−11c1c3c41−1−110可知134线性相关故选C您所下载的资料来源于kaoyancom考研资料下载中心获取更多考研资料请访问httpdownloadkaoyancom解析由于fxy在00处连续可知如果limxyxyxy∫ex∫exsinxdx看为以k为自变量的函数则可知Ikeksink≥0k∈0∫exsinxdx关于k5设123401−1⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜1⎟其中c1234为任意常数则下列向量组线性相关⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜ccc⎟⎜c⎟⎝1⎠⎝2⎠⎝3⎠⎝4⎠−1⎛1⎞12−1AC⎛1⎞2⎜⎟⎛2⎞1⎜⎟BD⎛1⎞⎛2⎞

1221答案B⎛100⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠−1⎛100⎞⎜⎟−1⎜001⎟⎛100⎞⎛100⎞⎛100⎞⎛1⎞⎛100⎞⎛1⎞1⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜故选B7设随机变量x与y相互独立且分别服从参数为1与参数为4的指数分布则pxyA15B13C25D45答案A解析XY的联合概率密度为⎧e−x−4yx0y0⎩0其它则PXY∫∫xy∞y∞000158将长度为1m的木棒随机地截成两段则两段长度的相关系数为A1B12C−12D−1答案D解析设两段长度分别为xy显然xy1即y−x1故两者是线性关系且是负相关所以相关系数为-1您所下载的资料来源于kaoyancom考研资料下载中心获取更多考研资料请访问httpdownloadkaoyancom6设A为3阶矩阵P为3阶可逆矩阵且PAP⎜⎟P123⎜⎟⎝⎠⎜⎟Q1223则QAQ⎜⎟⎜⎟⎝1⎠⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝2⎠⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎜⎟解析QP110则Q⎜001⎟⎜⎟P−110⎝⎠故QAQ−110PAP110−1101110−1⎜⎟−1⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜00100100120012⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠fxy⎨fxydxdy∫∫∫edy−x−4y−5ydxedx．．．x答案ex2x−2xxx−2x2ex可知C11C20故fxex10202答案2解析令tx−1得2011−1−122⎛⎝答案111z⎞⎟y⎠211________⎛⎝z⎞⎧z1⎫⎟yy11112设∑2答案312解析由曲面积分的计算公式身份证号码提取年龄的公式电容电压公式电容公式定积分求导公式力学公式可知∑D22D200dy11−y10312T答案2TT化的故它的秩等于它非零特征值的个数也即rE−xxT2您所下载的资料来源于kaoyancom考研资料下载中心获取更多考研资料请访问httpdownloadkaoyancom二填空题9−14小题每小题4分共24分请将答案写在答题纸指定位置上9若函数fx满足方程fxfx−2fx0及fxfx2e则fx________解析特征方程为rr−20特征根为r11r2−2齐次微分方程f′′xf′x

−2fx0的通解为fxC1eC2e再由fxfx2e得2C1e−C2e∫x2x−xdx________∫x2x−xdx∫∫t11−tdt221−tdt11grad⎜xy解析grad⎜xy⎨yx−2⎬y⎠211⎩⎭211∑xyzxyz1x≥0y≥0z≥0则∫∫yds________∫∫∫∫yyds1−12−12dxdy3∫∫ydxdy其中Dxyx≥0y≥0xy≤1故原式3∫∫ydx3∫y21−ydy213设X为三维单位向量E为三阶单位矩阵则矩阵E−xx的秩为________解析矩阵xx的特征值为001故E−xx的特征值为110又由于为实对称矩阵是可相似对角14设ABC是随机事件AC互不相容PAB3答案4PABC解析由条件概率的定义PABC-100PC其中PC1−PC1−-210123312PC13−则PABC________12ABC⊂AC得PABC0代入得PABC12故PABC34三解答题1523小题共94分请将解答写在答题纸指定位置上解答应写出文字说明证明过程或演算步骤15本题满分10分证明xln1xx21−x2−1x1解析令fxxln1x1−xcosx−1−x22可得fxln1x1−xx1x2g−sinx−xln1x2x1−x1−x2ln1x1x21−x1−x2gx−sinx当0x1时有ln1x1−x≥01x21−x21所以1x21−x2gx−sinx≥0故fx≥0而f00即得xln1xx21−x2所以xln1xx21−x2当−1x0有ln1x1−x≤01x21−x21所以1x21−x2gx−sinx≤0故fx≥0即得xln1xx21−x2您所下载的资料来源于kaoyancom考研资料下载中心获取更多考研资料请访问httpdownloadkaoyancomPABCPAB−PABC−PABC由于AC互不相容即ACPAC0又．．．cosx≥11−x1−x2−sinx−xcosx−1−≥0cosx≥1cosx−1−≥0可知xln1xx21−x2−1x116本题满分10分求fxyxe−x2y22的极值解析fxyxe−x2y22先求函数的驻点fx′xye−x0fy′xy−y0解得函数为驻点为e0又Afxx′e0−1Bfxy′e00Cfyy′e0−1217本题满分10分2e求幂级数∞n04n24n32n1x2n的收敛域及和函数4n24n3解析R2012年考研数学一真题及答案

n→∞n1ann→∞anan1n→∞2n122n11n→∞4n24n32n1⋅2n1121∞n04n24n32nxx0x0xdx∞n0x发散4n24n3n→∞2n112n1∞您所下载的资料来源于kaoyancom考研资料下载中心获取更多考研资料请访问httpdownloadkaoyancomcosx≥1所以B−AC0A0故fxy在点e0处取得极大值fe012∑limalimlim4n14n13lim4n14n13Sx∑2n1∫Stdt∑∫∞n04n24n32n2n1x1时∑4n24n32n2n1Qlim∞n04n24n32n12n∴x∈−11为函数的收敛域∞n02n1xx⋅18本题满分10分已知曲线L⎨⎜0≤t⎟其中函数ft具有连续导数且f00ft0⎜0t2⎠⎝⎟2⎠若曲线L的切线与x轴的交点到切点的距离恒为1求函数ft的表目数与毫米对照表入党积极分子考察表教师职称级别一览表普通年金现值系数表员工考核评分表达式并求此曲线L与x轴与y轴无边界的区域的面积解析1曲线L在任一处xy的切线斜率为dydx−sintf′t过该点xy处的切线为Y−cost−sintf′tX−ft令Y0得Xf′tcostft由于曲线L与x轴和y轴的交点到切点的距离恒为1222所以f′tsintcott两边同时取不定积分可得ftlnsecttant−sintC又由于f00所以C0故函数ftlnsecttant−sint2此曲线L与x轴和y轴的所围成的无边界的区域的面积为S∫02cost⋅f′tdt419本题满分10分222222L2222x00≤y≤2下用格林格林公式得原式∫LL12L1D0211422您所下载的资料来源于kaoyancom考研资料下载中心获取更多考研资料请访问httpdownloadkaoyancomx−1时∑−1收敛和函数为Sx∑4n24n32n1⎧xft⎛⎩ycost⎝故有f′tcottft−ftcost1又因为f′t00t已知L是第一象限中从点00沿圆周xy2x到点20再沿圆周xy4到点02的曲线段计算曲线积分J∫3xydxxx−2ydy解析设圆xy2x为圆C1圆xy4为圆C2下补线利用格林公式即可设所补直线L1为3xydxx3x−2ydy−∫3x2ydxx3x−2ydy∫∫3x21−3x2dxdy−∫−2ydySC2−SC14−420本题满分10分⎛10⎜0⎜⎝aa1000a100⎞⎟0⎟a⎟⎟1⎠⎛1⎞⎜⎟⎜0⎟⎜⎟⎝0⎠Ⅰ求AⅡ已知线性方程组Axb有无穷多解求a并求Axb的通解解析Ⅰ1002012年考研数学一真题及答案

aa1000a1000a11a0a004100101aⅡ⎛1a001⎞⎛1a⎜⎟⎜⎜001a0⎟⎜00⎜⎟⎜2⎝a0010⎠⎛1a001⎞⎜001a0⎟⎜2⎟⎝001a001a00001⎞⎛11a0⎟⎜0⎟⎜⎝0a01a010a3001⎞a0⎟⎟42此时原线性方程组增广矩阵为⎛1−1001⎞⎜⎟⎜01⎜001−10⎟⎜⎟⎝00000⎠⎛10⎜0⎜⎝001000−10⎞⎟1−10⎟⎟000⎠⎛1⎞⎛0⎞1线性方程组Axb存在2个不同的解有A0⎜1⎟⎜0⎟⎜⎟⎜⎟⎝1⎠⎝0⎠⎛1⎞⎛0⎞1⎜1⎟⎜0⎟⎜⎟⎜⎟⎝1⎠⎝0⎠11即211您所下载的资料来源于kaoyancom考研资料下载中心获取更多考研资料请访问httpdownloadkaoyancom⎜设A⎜−1b⎜⎟101aa−11a01−a41a0−1⎟⎜0→⎜⎝0−a−1⎜⎟→⎜⎟001−a4−a−a⎠−1⎟⎟⎜→⎜01−a⎠−1⎟⎟1−a−a2⎠可知当要使得原线性方程组有无穷多解则有1−a0及−a−a0可知a−1−10−1⎟⎜进一步化为行最简形得⎜0−1−1⎟−1⎟⎜⎟⎜⎟可知导出组的基础解系为非齐次方程的特解为⎜⎜⎟−1⎜⎟⎜⎟故其通解为k⎜⎟⎜⎟A0−10−110得1或-1当1时⎛111⎞⎛x1⎞⎛x⎞000x20⎜111⎟⎜x3⎟⎜1⎟21本题满分10分三阶矩阵A⎛101⎞⎜⎟TT⎜−10a⎟TT1求a2求二次型对应的二次型矩阵并将二次型化为标准篮球课程标准尘肺标准片党员活动室建设分级护理细化标准儿科分级护理标准型写出正交变换过程T101011a10⇒a−1−10a2xx022⎛202⎞⎛x1⎞⎜224⎟⎜x3⎟222⎛202⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠−20−2E−B0−2−2−2−2−2−60−4解得B矩阵的特征值为102236对于10解1E−BX0得对应的特征向量为1⎛1⎞1⎜−1⎟⎛1⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠您所下载的资料来源于kaoyancom考研资料下载中心获取更多考研资料请访问httpdownloadkaoyancom⎜⎟⎜⎟⎜⎟显然不符故−1⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎜011⎟A为矩阵A的转置已知rAA2且二次型⎝⎠fxAAx解析1由rAArA2可得fxAAxx123⎜2012年考研数学一真题及答案

⎟⎜x2⎟TT⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠2x12x24x34x1x24x2x3则矩阵B022⎜224⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠对于22解2E−BX0得对应的特征向量为2−1⎜0⎟⎛1⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠将123单位化可得1⎛1⎞⎛1⎞1⎜⎟1⎜⎟0⎛1⎞12Q12322本题满分10分已知随机变量XY以及XY的分布律如下表所示求1PX2Y2covX−YY与XY解析1PX2YPX0Y0PX2Y12covX−YYcovXY−covYY1144252334959您所下载的资料来源于kaoyancom考研资料下载中心获取更多考研资料请访问httpdownloadkaoyancomX012P121316Y012P131313Y012P131313XY0124P712130112X012P121316XY0124P712130112对于36解3E−BX0得对应的特征向量为31⎜2⎟12−1⎟33⎜−1⎟2⎜⎟⎝⎠⎝⎠1⎜⎟6⎜⎜⎟⎟⎝⎠0covXYEXY−EXEY其中EXEX21EY1EY2DXEX2−EX1−25233EXY23所以covXY0covYYDY23covX−YY−23XY023本题满分11分设随机变量X与Y相互独立且分别服从正态分布N设ZX−Y221求z的概率密度fz22z22222似然函数2110z2222ni11n2n22e−1102ni110−n2ne−1102ni1nn122102ni12i2−211022ni12i021n5n21n5ni12⎝5n⎞1121n22您所下载的资料来源于kaoyancom考研资料下载中心获取更多考研资料请访问httpdownloadkaoyancomDYEY2−EY−1与N2其中是未知参数且02设z12Lzn为来自总体Z的简单随机样本求的最大似然估计量23证明为的无偏估计量2解析1因为XNYN2且X与Y相互独立故ZX−YN05所以Z的概率密度为fz−e10−∞z∞L∏fzi10∑zi22−2∑zi2lnL2−ln10−ln2−∑zdlnL2nd2∑z解得最大似然估计值为ˆ∑i1zi2最大似然估计量为ˆ∑Zi23E⎛1nnn⎡⎤∑i1Zi2⎠⎟5n∑i1EZi25n∑i1⎣EZii⎦5n∑i1522DZE⎜故ˆ为的无偏估计量2012年考研数学一真题及答案