线性代数考研大纲：数学篇：考研线性代数知识点归类

堂主前天介绍了5月复习规划

趁热打铁，今天介绍线性代数常考知识点

总结如下

01特点与难点

1、特点

前面是基础，后面是应用。

这句话有三层意思

⑴、前面的内容学好，后面内容才看得懂。

⑵、前面内容不会单独考，70%会结合后面内容考查，所以题目综合性强。

⑶、前面内容需要记忆，类似于泰勒公式，类似于求导公式，但是不同于泰勒公式的是，可以通过理解记忆。

2、难点

⑴、没有一本好的辅导书。

①刚刚说过，前面的内容可以通过理解记忆，但是辅导书不讲深层原因，而是直接罗列出来。

比如：行列式性质

②大部分考研难度的题目都具有一定综合性，编者不好编辑例题。

比如：行列式内容中，抽象行列式涉及矩阵内容（此时矩阵还没有学习）

矩阵内容中秩的相关概念需要用向量和方程组的知识理解（此时向量还没有学习）

⑵、网课老师深浅把握不好

：线性代数讲得深！他可以把深层次原因讲出来，但是作为新手，你会质疑老师的能力！

：讲的细致，风格恰好与 相反。

杨超：同

⑶、某些概念理解有困难

这部分原因是两部分造成的：

①没有理解前面某些概念。

②由于题目综合性强，练的题目少。

把这三个难点联系在一起，你们有没有发现？

线性代数复习进入了一个死循环

前期复习没有涉及后面的知识点→做题少、不能够通过做题加深概念→后面知识点理解困难→做题少、不能够通过做题加深概念。

所以，堂主下面写的内容对你们有三个帮助

帮助1：知道哪些习题是综合性题目，哪些知识点是为后面做铺垫。

帮助2：让你们对线性代数有一个系统的了解。

帮助3：帮助你们梳理知识点，避免盲目的学习！

02各章知识点总结

【行列式】

1、行列式本质——就是一个数

2、行列式概念、逆序数

考研：小题，无法联系其他知识点，当场解决。

3、二阶、三阶行列式具体性计算

考研：不会单独出题线性代数考研大纲，常常结合伴随矩阵、可逆矩阵考察。

4、余子式和代数余子式

考研：代数余子式的正负是一个易错点，了解代数余子式才能学习行列式展开定理。

5、行列式展开定理

考研：核心知识点，必考！

行列式的计算只掌握3和5，7属于处理方法（题型）。

6、行列式性质

考研：核心知识点，必考！小题为主。

7、行列式计算的几个题型

①、划三角（正三角、倒三角）

②、各项均加到第一列（行）

③、逐项相加

④、分块矩阵

⑤、找公因

这样做的目的，在行/列消出一个0，方便运用行列式展开定理。

考研：经常运用在找特征值中。

⑥数学归纳法

⑦范德蒙行列式

⑧代数余子式求和

⑨构造新的代数余子式

考研：这9个小知识点，除⑤外，只涉及第一章的考点。

如果出大题，最多是一道大题的第一问！绝不可能单独命题！

8、抽象型行列式（矩阵行列式）

①转置

②K倍

③可逆

③伴随

④题型丨A+B丨；丨A+B-1丨；丨A-1+B丨型

（这部分内容放在第二章，但属于第一章的内容）

考研：出小题概率非常大，抽象性行列式与行列式性质结合考察

【矩阵】

1、矩阵性质

考研：与伴随矩阵、可逆矩阵、初等矩阵结合考察。

2、数字型n阶矩阵运算

①方法一：秩是1

②方法二：含对角线上下三角为0的矩阵

③方法三：利用二项式定理，拆写成E+B型

④方法四：利用分块矩阵

⑤方法五：P-1AP=B；P-1APP-1AP=B2

方法五涉及相似对角化知识。

方法三涉及高中知识。

考研：常见在大题出现，是大题的第一问！看到数字型n阶矩阵运算，一定出自这5个方法。

（如果本题不会做，你的问题出在只掌握这五种方法的某几种，所以你是失败在归纳总结上了）

3、伴随矩阵

考研：伴随矩阵常与其他知识考察，与行列式、转置、K倍、可逆、伴随的伴随结合考察。

4、二阶矩阵的伴随矩阵

法则：主对角线互换、副对角线填负号。

考研：如果让求某个二阶矩阵的可逆矩阵，难点转化成如何计算它的伴随矩阵。

5、可逆矩阵两种求法

考研：可逆矩阵可与行列式、转置、K倍、伴随矩阵、可逆的可逆结合考察。

6、分块矩阵

考研：以小题出现

7、初等矩阵

考研：小题出现

8、正交矩阵、对称矩阵、反对称矩阵

考研：第二章先知道张什么模样，这部分内容在二次型、相似对角化考察。

9、秩（十个公式）

考研：我把秩比作答题的第二种方法，在解决向量、方程组等相关知识点，可以用传统方法（解题速度慢），也可用秩，解题速度是传统方法的5倍！但是难懂。

这部分内容建议听： +杨超+ 的所有网课内容！强化记忆！是线性代数的难点！！！

（但不是重要考点）

【向量】

1、几组定义（向量内积、向量的长度、单位化、正交）

考研：考单位化，但是如果想理解线性代数本质，向量内积、向量的长度要懂。

2、线性相关、无关的三大判别方法

⑴、利用行列式

⑵、向量个数＞维度，必相关

⑶、利用秩

考研：小题出现，很少结合其他章节知识点。

3、线性相关无关证明题三种思路

⑴、利用定义法

⑵、用秩

⑶、反证法

考研：大题考点，这部分内容可以与线性方程组结合，也可以与特征值特征向量结合，也可以与秩结合。至于如何结合，怎么结合，请自己归纳总结。

4、线性表出四大判别方法

⑴、利用行列式

⑵、利用秩

⑶、利用定义

⑷、利用方程组

考研：可小题、可大题，但是通是大题的某一问。

5、克拉默法则

考研：服务线性表出。

6、线性表出计算题三大思路

⑴、利用克拉默法则

⑵、构建方程组，抓0思想

⑶、与向量组结合考等价。

考研：大题考点！涉及部分方程组知识和初等行变换知识。

这部分内容涉及重要的数学思想：分类讨论！！！（大题 ）

7、线性表出证明题四个理论

考研：大题小题都有，但是近几年小题居多。

8、极大线性无关组

考研：核心考点内容和2、3知识点一样，换汤不换药

9、等价向量组

考研：小题居多，很少与其它章节知识点结合。

【线性方程组】

1、基础解系

（不懂就背下来，我当时考研到10月份才茅塞顿开。）

2、齐次线性方程组与非齐次线性方程组

⑴、常规求解

⑵、解含参数的方程组

（这部分内容最难在于化简，矩阵基础要牢固！！）

⑶、利用解的三个性质

⑷、通过矩阵运算，构造方程组再求解

考研：大题核心考点，历年考题向量和方程组会出其中一道，而方程组的出题概率高于向量！原因如下

①、解题方法多。

②、能与矩阵相关知识联系结合。

3、公共解、同解两种题型

考研：重要考点题！

【特征值与特征向量】

1、特征值相关概念与计算

考研：必考题，这里面难点不在于特征值相关知识，而在于求解行列式相关知识。

2、特殊特征值

⑴、上三角矩阵、下三角矩阵。

⑵、秩为1的矩阵

⑶、某个矩阵拆分后线性代数考研大纲线性代数考研大纲，利用⑴和⑵结合。

3、相似矩阵概念及性质

考研：不会单独出，但一定会结合其他题目

4、相似矩阵两种考题

如果P-1AP=B

⑴若Aλ=λa→B(P-1a)=λ(P-1a)

⑵若Ba=λa→A(Pa)=λ(Pa)

考研：这部分内容是内容5的基础，但是如果单独出考题，不太可能。

5、对角矩阵的相似问题

核心内容：“搭桥”桥是Λ。

考研：核心重点考点！

本内容需要分类讨论、需要基础解系相关知识、又可以联系特征值、特征向量，性质方面也可全面考察。

6、反对称矩阵

考研：小题

7、实对称矩阵以及正交矩阵

考研：也是重要考点，大部分知识和前面一样，唯一不同之处在于多一个史密斯正交化。

【二次型】

1、二次型相关概念

内容和微分方程有异曲同工之妙，记忆的内容比较多，但比较简单。

考研：出小题，比如填写一个负惯性指数。

2、矩阵的等价、相似、合同

考研：出小题，一定不可能出大题的。

3、化二次型为标准型、正定问题

考研：核心重点考点，内容本身没什么难度，只是把前面所有的知识综合起来。

这里不用细说，如果前面的相关内容复习的非常好，这部分内容学习起来会轻松很多。

03总结

1、线性代数一个月之内完成！堂主预计是20天左右

2、如何归纳总结，堂主已经把“坑”挖好了，填坑的工作交给你们了。

对这种类型的题关注到何种程度，也已告知。

3、线性代数最难的不是特征值、二次型，而是向量和线性方程组。

4、现在看不懂没关系，建议你们打印下来这篇文章，在复习中体会线性代数考研大纲，以及各位可以把我的“坑”再次细分。

5、线性代数一轮结束，可以抽2天听 基础班内容，讲的是线性代数的本质内容。

经验告诉你们， 线性代数基础班比强化班还要抽象。

对于有基础的你们，属于锦上添花。

祝各位线性代数功德圆满

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