2021年数学二考研真题：你可以不会做，但不能空着：2021年杨树森考研数学试题 (1)
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2021年杨树森考研数学试题 (1) (1)
给出 2021 年杨树森考研数学试题的测试结果。报名的人数较多，以至于较晚报名的人我没有再联系，但是已经报名的人有很多没有提交。
本次测试总体来说是成功的，整体的难度、变异度、峰度、偏度都很合理。我没有想到有这么多人不做概率论与数理统计，除去这两道题。难度最大的是第八题，区分度最大的是第六题，变异度最大的是第八题。只有第一题没有零分，第三题和第八题没有满分。
这次在判卷时，所有没空着的我都没有打零分。即便如此，还是有这么多人次零分，是我不太满意的。我希望每个人能够把不会做当成一种常态，但即便是不会做，毕竟你也不是什么都不懂，就不能写出点想法吗？
就像大学老师的普遍情况，写了总是比没写好，就算全是错的2021年数学二考研真题，还是会对于其中有点道理的部分给一些分数。这个世界上哪有那么多题让你完全做出来呢？政治和英语不会做，你还知道要写好多东西来混分，怎么到了数学这里就不行了？
然后是关于大纲的问题。我希望你们能够更理智地看待大纲。并不是说每一道题的每一个想法都应该从大纲里找到直接的依据，而是说当你把大纲里的内容都学明白之后，解决这些问题应该不会太困难。而且有些次要的知识在大纲里没有写，但是你在学习主干知识的时候应该接触过，所以也不应该完全不会。
其实你看考研真题，政治和英语都会出不少不能在大纲里找到直接依据的题，例如政治题里会有一些额外的知识点，英语会出现做题时必要的生词。那么为什么在数学里，你非要让每一道题都紧紧围绕大纲中规定的知识点，甚至每一个想法都符合自己设想的套路呢？
为什么这次的第三题、第五题和第八题得分如此低，就是因为它们出现了大纲之外的元素。第三题是三重积分，第五题是微分方程的近似解，第八题是抽象线性空间。那又如何？三重积分和二重积分没有本质区别，微分方程的近似解和方程的近似解有一样的思想，领会了线性空间的精神就无惧它是具体的还是抽象的。
这三道题出现在考研真题里都不会显得太不合理，不论你考的是所谓的数学几。你是在考研，不是在参加一站到底，面对知识不是你记住就行了，而是要掌握这些知识背后的思想。等到真正的工作和研究，没有那么多问题是严格按照某种标准来的，必须结合自己的素养。
现在我将试卷公布出来，并做少量的分析。之后我会给每一道题写一篇文章分析和解答。我认为这里没有任何一道题是难度过大的，甚至你们做得很差的题，反而是我认为比较简单的。
1. 确定正整数
使得
并计算这个极限。
这道题在我看来是相对比较难的。首先你应该明白怎样的极限我们有较多的求解工具，其次是掌握这些求解工具的内涵。同时本题的计算量也比较大，我认为结果错了不要紧，但是应该把过程写得八九不离十。
2. 设函数
在
上连续2021年数学二考研真题，在
上可微，且
证明存在
使得
确实真的有很多人完全做不了证明题。我将有关微分中值定理的证明题放在第二题，它也确实比 2020 年数学一的第 19 题要容易，不过涉及到了极限的内涵，于是没什么人轻松完成了。
3. 计算三重积分
其中
为区域
首先有很多人偏要说三重积分不考，所以不会做。如果你是因此空着这道题，那么我说其实你也并不会做二重积分。其实这道题和二重积分太像了，因为它只要求你做一个柱坐标变换。不过这个绝对值符号的确讨厌，要考虑如何化解它。这道题确实难，但不至于空着。
4. 判断无穷积分是否收敛
这道题被我看作是难题。我认为反常积分和级数是高等数学里为数不多的比较有数学味道的知识。分析学的精髓不在于面对一个已知有结果的问题，求出这个结果，而是在于用抽象的方式论证一个结果的性质。本题无法直接应用现成的结论2021年数学二考研真题，需要用少量的技巧才能解决。
5. 考虑常微分方程初值问题
它的解在
上是存在唯一的。计算
的绝对误差不超过
的近似值（不要求误差分析）。
为什么有很多人偏偏要试图把这个方程解出来呢？不过是因为以前刷的题都是这么做的。然而你学习了微分以后，就应该意识到可以用多项式函数近似未知的函数。于是，这道题几乎成为试卷里最简单的一道题。
6. 对于任意正整数
构造区间
上的函数
(1) 证明对于任意
级数
收敛；
(2) 对于各项位于
上的收敛数列
判断级数
是否一定收敛。
这道题其实是个纸老虎，不过它的立意是深刻的。你是否了解过函数序列的一致收敛性？它想要说的就是一个函数序列是否“真的”收敛于一个函数。如果是真的，它就应该有在各种意义下的共同的收敛性。而本题就给出了一个“假的收敛”的例子。
7. 已知
阶矩阵
的特征值全为
(1) 证明
可对角化的充要条件是
(2) 构造一个
使得
并计算
本题非常基础2021年数学二考研真题，但是体现出了代数学的基本思想。所谓代数就是研究结构的学问。我们常常试图给一些复杂的结构提出相对简单的表示，然后说明这样的表示为什么很有意义。
8. 全体
阶实对称矩阵关于矩阵的加法和数量乘法是一个线性空间，记为
(1) 求
的维数；
(2) 判断是否存在
的一个由一些正定矩阵构成的基。
线性空间的前身是
也就是全体由
个数组成的数组构成的集合。但是我们完全可以摆脱形式上的束缚，建立抽象的线性空间概念，用
上定义基和维数的方式定义线性空间的基和维数。而第二问也有较深的立意，它体现出平移对线性无关性的保持。
9. 设二维随机变量
服从圆盘
上的均匀分布。
(1) 判断
是否独立；
(2) 对
做极坐标变换
判断
是否独立。
本题体现出有关二维均匀分布的一个观点，就是在直角坐标下的均匀分布，到底以哪种视角看是真正“均匀”的。只要掌握一些必要的知识和技能，就可以解决和领悟这道题。
10. 已知某种灯泡在任意工作状态下，能够保持工作至少
小时的概率是总是相同的。现在测试
个这种灯泡的寿命，得到样本
求灯泡寿命的总体均值的
置信区间。（用标准正态分布函数表示）
这几年的考研题没怎么涉及区间估计，但是区间估计非常重要。另一方面，本题涉及到数理统计的基本思想，就是把样本看作是一个随机变量的试验结果，以及用概率论估计这样的随机变量。